2011年高考数学总复习精品课件：第二单元第二节 函数的定义域与值域

第二节函数的定义域与值域考纲要求了解定义域、值域是构成函数的要素；会求一些简单函数的定义域和值域；掌握一些基本的求定义域和值域的方法；体会定义域和值域在函数问题中的作用学习重点常见基本初等函数的定义域(求定义域的主要依据）常见基本初等函数的值域求函数值域的基本方法学习难点求函数定义域的基本方法求函数值域的基本方法教学过程基础梳理1.在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域.值域由定义域和对应法则确定x组成的集合A函数值的集{f(x)|x∈A}函数的定义域的常见求法.函数的定义域的常见求法(1)分式的分母.(2)偶次根式的被开方数.(3)对数的真数,底数.不为零大于或等于零大于零大于零且不等于1(4)零次幂的底数.(5)三角函数中的正切函数.(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需.(7)已知函数f[g(x)]的定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求.（8）一次函数、二次函数、指数函数、正弦函数、余弦函数定义域都是R（9）实际问题中函数的定义域不为零g(x)∈D.g(x)的值域(x∈D).tan(,)2xxkkZ基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域：(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域：a0时，值域为:当a0时值域为:（3）y=k/x(k≠0）值域：（4）y=ax(a0,且a≠1)的值域：(5)y=logax(a0,且a≠1)的值域：(6)y=sinx,y=cosx的值域：(7)y=tanx的值域：24a4,cba+R-1+1，24ac-b4a,RRR,00,典例分析题型一函数的定义域例1求函数的定义域.22x-92x)-lg(xf(x)222090x2x0333023xxxxxx或解：由题意得即所以所求定义域为x或错解。错在何处？正解分析只需要使解析式有意义,列不等式组求解解要使函数有意义,则只需要即解得-3x0或2x3.故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).220xx209x20xx或3x-3举一反三1.求下列函数的定义域21(1)lg(1)2;(2)12yxxyxx2(3)(54)lg(43)yxxx解析（1）定义域为{x|1x≤2}10x20x12x（2）定义域为2x210x112xx或且x,22,11,22,4303431434(3)1x1,11,xxxx或即22(1)(),().(2)(2+1),().(3)(+1)-2,3,(2-2).xxxxxx已知函数f定义域为0,1求f的定义域已知函数f定义域为0,1求f的定义域已知函数f定义域为求f的定义域例2（抽象函数的定义域）强化练习第13页基础自测3，4感受高考111.07()Mg(x)=ln(1+x)N,MN=xx（年高考广东）已知函数f定义域为，的定义域为则求函数的定义域,先列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次方根中,被开方数非负;(3)对于y=,要求x≠0;(4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;(5)由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.0x学后反思题型二函数的值域【例2】求下列函数的值域.2(1)32,1,3yxxx(2)212yxx2211(3)()212xyxxx分析(1)利用二次函数在确定的区间单调性求解;(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题,还可通过单调性求解;(3)利用基本不等式或利用函数的单调性求解.解(1)∵对称轴x=∈[-1,3],∴函数在x=处取得最小值，即=结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即=26.∴函数的值域为[,26],122361-x32x-3xy226161miny1223maxy1223(2)方法一:令∴∵二次函数对称轴为t=-2t-1x0),t(t2x-12则4521t-t-t-1y2221∴在[0,+∞)上，是减函数,∴故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].4521t-y2145210-y2max1(3)21(0),2txttx令则221112114222(1)ttytttt方法二:∵y=2x与均为定义域上的增函数,是定义域为上的增函数,∴,无最小值.∴函数的值域为(-∞,1].2x-1-y21|xx1212-1-212ymax212yxx111112222222tttt当且仅当，即时等号成立，原函数的值域为12tt2t12,2y12,2学后反思求函数值域（最值）的常用方法：（1）基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解（2）配方法对于形如的函数的值域问题，均可用配方法求解。22(0)()()()(0)yabxcaFxafxbfxcax或0ac22ax（3）换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求值域的函数，形如的函数，令f(x)=t；形如y=ax+b(a,b,c,d均为常数，）的函数，令，形如含的结构的函数，可利用三角代换，令x=,或令1()yfxcxdcxdtcosa0,sin,,22xa(4)不等式法利用基本不等式：，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”。如利用“”求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①a0,b0②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.2abab2abab(5)函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，，当利用不等式法等号不能成立时，可考虑用函数的单调性。()(0,0)bfxaxabx(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如，可联想两点与连线的斜率。2121yyxx11,yx22,yx(7)函数的有界性法形如y=，可用y表示出sinx，再根据，解关于y的不等式，求出y的取值范围sin1sinxx1sin1x举一反三(8)导数法设y=f(x)的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值或最小值'()fx'()0fx,ab2.求下列函数的值域..22xx1x(2)y;x-8-63x(1)y21(3)12xy解析(1)∵,∴定义域为［-2,8］.又∵函数为增函数,∴∴值域为0x-80,63x30y10-]30,10[-(2)+(2y-1)x+2y-1=0,①当y=0时，方程有解x=-1；②当y≠0时,∵x∈R,∴Δ=(2y-1)2-4y(2y-1)≥0,即(2y-1)(-1-2y)≥0,∴2yx]21,21[-,21y21-即值域为(3)原式化简得，显然y0,即值域为（0，1）。10,012xyyy12yyx题型三函数的最值【例3】(14分)已知函数,x∈[1,+∞).(1)当a=4时,求f(x)的最小值;(2)当时,求f(x)的最小值;(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.xa2xxf(x)221a分析在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用基本不等式求解,但须逐一验证应用基本不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.(3)函数在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数…………………………………………………………………11′若1,即a1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增,∴f(x)min=f()=2+2；若≤1,即0≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴f(x)min=f(1)=a+3……………………………………………….14′2axf(x)xaaaaaa解(1)当a=4时,易知,f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数，……………………………………………………………….2′∴f(x)min=f(2)=6……………………………………………………………4′(2)当时,.易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数,………………………………….……………………………………….6′∴f(x)min=f(1)=…….………………………………………….8′24xf(x)x22x1xf(x)2712a学后反思求函数在某区间上的最值,通常先判断函数在该区间上的单调性,当函数或区间中含有字母时,要对字母加以讨论,以确定函数的单调性.举一反三3.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于A、B两点,AB=2i+2j(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=-x-6.(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时,求函数的最小值.2x()1()gxfx解析(1)由已知得于是=2,b=2，∴k=1,b=2.,b,kbABb),B(0,,0),kbA(-）（则kb2x(2)由f(x)g(x),得x+2-x-6,即(x+2)(x-4)0,解得-2x4.当且仅当x+2=1,即x=-1时等号成立.∴的最小值是-3.-3,f(x)1g(x)0,2x5-2x12x2x5-x-xf(x)1g(x)2则由于f(x)1g(x)易错警示错解分析上面的解法忽视了复合函数的定义域,误以为函数y的定义域仍为f(x)的定义域,从而导致求最大值时出错.2()fx【例】已知f(x)=2+(1≤x≤9),求函数y=的最大值.错解y==即y=∵1≤x≤9,∴0≤≤2.故当x=9,即时,y取最大值为22.3lgx22()()fxfx22()()fxfx2233(2lg)2lgxx22333(lg)6lg6(lg3)3xxx3lgx3lg2x9x19x12正解∵f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=有意义,必须有∴1≤x≤3,∴0≤≤1.故当x=3,即=1时,y取最大值为13.22()()ffxx3lgx3lgx考点演练10.求下列函数的定义域（1）（2)y=；(3)2(11)xyxx2845xx212(21)lgyxx(4)12yxx解析（1）值域为2211()24yxxxminmax12,,4yy12,428(2),(2)1yx2(2)11,8,xy显然y0,08值域为，22210,(1)2uxxuux令，则（3）1202,1,1lguu值域为，+（4）显然函数为减函数，min111120,.12222xy12值域为，+11.设函数（1）当a=-5时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围。()12fxxxa解析(1)由题设知：如图，在同一坐标系中作出函数和=5的图像，由图像可知的定义域为1250xx12yxx,23,(2)由题设知，120xRxxa当时，恒有12,1123xxaxx即又由（）知3a-a3，即12.设函数其中将的最小值f(x)记为g(t)（1）求g(t)的表达式；（2）若当时，恒成立，其中k为正数，求的k取值范围232()2433fxxtxttt