2011年高考数学理一轮复习 8-2双曲线精品课件

第二节双曲线知识自主·梳理最新考纲掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．高考热点以客观题的形式考查双曲线的定义、离心率、渐近线、焦半径等知识.1.双曲线的定义．(1)第一定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a.①当时，P点的轨迹是；②当时，P点的轨迹是；③当时，P点的轨迹不存在．(2)第二定义：平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l距离的比是常数e，且x的轨迹是双曲线．定点F是，定直线l是，常数e是双曲线的．a＜c双曲线a＝c以F1、F2为端点的两条射线a＞ca＞c焦点焦点离心率2．双曲线的几何性质.标准方程＝1(a＞0，b＞0)＝1(a＞0，b＞0)中心(0,0)(0,0)顶点(a,0)，(－a,0)(0，a)，(0，－a)范围|x|≥a|y|≥a标准方程＝1(a＞0，b＞0)＝1(a＞0，b＞0)焦点(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)准线方程x＝，x＝－y＝，y＝－渐近线y＝x，y＝－x，y＝x，y＝－x3.双曲线特例．(1)等轴双曲线的方程可为．(2)共轭双曲线的方程可为.(3)共渐近线的双曲线的方程可为．x2－y2＝λ(λ≠0)4．双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.5．双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点构成△PF1F2称做焦点三角形，∠F1PF2＝θ.(1)θ＝．(2)S△PF1F2＝＝＝＝.6．与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为．.7．以＝0为渐近线的双曲线方程为.c|y0|(1)对于双曲线的第一定义，应注意：①若点P在双曲线的左支上，则有|PF2|－|PF1|＝2a；若点P在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a(其中F1、F2分别为双曲线的左、右焦点)；②2c＞2a是双曲线定义中的隐含条件．若c＝a，则轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(向外)；若c＜a，则无轨迹．(2)与椭圆类似，双曲线的标准方程有两种形式，具体是哪一种形式，由焦点位置确定．若给定标准方程x2m－y2n＝1(m，n同号)，判定焦点位置的方法是：m＞0，n＞0，焦点在x轴上；m＜0，n＜0，焦点在y轴上．重点辨析方法规律·归纳题型一双曲线定义的应用思维提示①准确理解定义②定义的灵活应用例1已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．[分析]在△PF1F2中利用余弦定理得出|F1F2|、|PF1|、|PF2|的关系，再利用双曲线定义，得到|PF1|·|PF2|与a、b、c的关系，再利用三角形面积得到关于a，b，c的方程，解方程组求得a，b，c，从而得到双曲线方程．即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|sinπ3＝23，∴|PF1|·|PF2|＝8,4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23，∴所求双曲线的方程为3x22－y22＝1.[规律总结]在利用双曲线定义解题时，要注意焦点三角形中余弦定理的应用，即||PF1|－|PF2||＝2a与|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2的联系.备考例题1已知椭圆x2a21＋y2b21＝1(a1＞b1＞0)与双曲线x2a22－y2b22＝1(a2＞0，b2＞0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；(2)当b1＋b2＝m(m＞0)是常数时，求△F1PF2面积的最大值．解：(1)如图所示，令∠F1PF2＝θ.因|F1F2|＝2c，则a21－b21＝a22＋b22＝c2，即a21－a22＝b21＋b22.由椭圆、双曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|＞|PF2|)．所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－4c22|PF1|·|PF2|＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a21－b21)－2(a22＋b22)2(a21－a22)＝b21－b22a21－a22＝b21－b22b21＋b22.所以sinθ＝2b1b2b21＋b22.所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝12(a21－a22)·2b1b2b21＋b22＝b1b2.(2)当b1＋b2＝m(m＞0)为常数时，S△F1PF2＝b1b2≤(b1＋b22)2＝m24，所以△F1PF2面积的最大值为m24.例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．[分析]已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．已知渐近线方程也可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．题型二求双曲线的标准方程思维提示①注意双曲线方程的标准形式②双曲线方程的设法[解]解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即y＝12x.当x＝4时，y＝2＜yP＝3，∴焦点在y轴上，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则ab＝12，设a＝k，b＝2k，则a2＝k2，b2＝4k2，∴双曲线方程为y2k2－x24k2＝1，∵P(4,3)在双曲线上，9k2－164k2＝1，∴k2＝5，∴a2＝5，b2＝20，∴所求双曲线方程为y25－x220＝1.解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0.∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0，∴可设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点P(4,3)，∴424－32＝λ，∴λ＝－5，∴所求的双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.[规律总结]由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线方程所得的y值与yP比较，可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．方法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ为参数)中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上.备考例题2已知双曲线的离心率e＝52，且与椭圆x213＋y23＝1有共同的焦点，求该双曲线方程．解法二：设与椭圆x213＋y23＝1共焦点的双曲线方程为x213－k＋y23－k＝1(3＜k＜13)，即x213－k－y2k－3＝1.∴a＝13－k，c＝10.∴离心率e＝ca＝1013－k，即1013－k＝52，解得k＝5，∴所求双曲线方程为x28－y22＝1.题型三双曲线几何性质的应用思维提示①熟练掌握双曲线的几何性质②灵活应用几何性质解题例3双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．[解]直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝b(a－1)a2＋b2.同理可得点(－1,0)到直线l的距离d2＝b(a＋1)a2＋b2∴s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc，又s≥45c得2abc≥45c，即5a·c2－a2≥2c2，于是得：5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解得e2∈[54，5]，又e＞1，∴e的范围是e∈[52，5]．[规律总结]要解决双曲线中有关离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出离心率e＝的关系式，这里应和椭圆中a，b，c的关系区分好，即c2＝a2＋b2.备考例题3已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．(2)证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m2＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.证法二：∵MF1→＝(－3－23，－m)，MF2＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3.∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.题型四双曲线方程的综合应用思维提示①解决双曲线与向量、函数、不等式交汇的问题②双曲线在实际问题中的应用例4若F1、F2分别为双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足F2O→＝MP→，F1M→＝λ(F1P→|F1P→|＋F1O→|F1O→|)(λ＞0)．(1)求双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(3，2)，求此双曲线的方程；(3)在(2)的条件下的双曲线的虚轴端点分别为B1，B2(B2在x轴的正半轴上)，点A，B在该双曲线上，且B2A→＝μB2B→，求B1A→⊥B1B→时直线AB的方程．[分析]第(1)问先由向量关系判断四边形OF1PM的形状，进而得到a，c的关系，求出离心率．第(2)问设出双曲线方程，将N点坐标代入得到；第(3)问，先设出直线方程，与双曲线方程联立，再由根与系数的关系得到．[解](1)∵F2O→＝OF1→＝MP→，∴四边形OF1PM为平行四边形．又F1M→＝λ(F1P→|F1P→|＋F1O→|F1O→|)，∴四边形OF1PM为菱形．∴|PF1|＝|OF1|＝c，|PF2|＝2a＋c，∴e＝|PF2||PM|＝2a＋cc＝2e＋1，∴e＝2.(2)∵e＝2，∴b2＝3a2，∴y2a2－x23a2＝1，将点N(3，2)代入得a2＝3，∴此双曲线的方程为y23－x29＝1.(3)由B2A→＝μB2B→知直线AB过B2，若AB的斜率不存在，则AB的方程为x＝3，检验知不满足B1A→⊥B1B→，∴设AB的方程为y＝k(x－3)，联立方程y＝k(x－3)y23－x29＝1，得(3k2－1)x2－18k2x＋27k2－9＝0.由B1A→·B1B→＝0，得90k2－183k2－1＝0，解得k＝±55，检验知Δ＞0，∴直线AB的方程为x±5y－3＝0.[规律总结]解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上(即把线段的关系化为横坐标或纵坐标之间的关系)是常用的简化问题的手段；有关弦交点的问题，常常用到“设而不求”的方法，判别式和根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具.备考例题4平面直线坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1,0)、B(0，－2)，点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α、β∈R，α－2β＝1.(1)求点C的轨迹方程；(2)设点C的轨迹与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：1a2－1b2为定值；(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于3，求双曲线实轴长的取值范围．解：(1)设C(x，y)，∵OC→＝αOA→＋βOB→，∴(x，y)＝α(1,0)＋β(0，－2)，则有x＝αy＝－2β，∵α－2β＝1，∴x＋y＝1