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专题三运动图象追及和相遇问题知识自主·梳理一、位移—时间图象(s－t图象)1．图象的物理意义：反映了物体的随变化的规律．2．图象斜率的意义(1)图线上某点切线的斜率的大小表示物体．(2)图线上某点切线的斜率的正负表示物体．3．两条图线的交点表示两物体在同一时刻到达同一．位移时间速度的大小速度的方向位置二、速度－时间图象(v－t图象)1．物理意义：反映了做直线运动的物体随的变化关系．2.两种特殊的vt图象(1)匀速直线运动的vt图象是与横轴的直线．(2)匀变速直线运动的vt图象是一条的直线．3．图线斜率的意义(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的．(2)图线上某点切线的斜率正负表示．运动速度时间平行倾斜加速度大小加速度的方向4．图象与坐标轴围成的“面积”的意义(1)图象与坐标轴围成的面积表示相应时间内物体的．(2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间的位移方向为；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为．位移正方向负方向♦重点辨析无论是st图象还是vt图象，都表示物体的运动情况随时间的变化关系，它并不是物体运动的轨迹．三、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(两物体由同一位置出发)(1)速度大者减速追速度小者(匀速)①当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有距离．②两者速度相等时，则恰能追上，也是两者的临界条件．③若两者位移相等时，追者速度仍被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个值．最小避免碰撞大于较大(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)①当两者相等时有最大距离．②当两者相等时，则追上．2．相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体之间的时即相遇．速度位移相遇距离♦重点辨析在追及相遇问题中，速度相等是一个很重要的临界条件，因此要注意此时两个物体之间的相对位置的关系．方法规律·归纳一、位移－时间图象应用要点如图是几种常见的位移—时间图象，对于图象要注重以下四点：1．点：两图线交点，说明两物体在该时刻该位置相遇．2．线：表示研究对象的变化过程和规律，若为倾斜直线，则表示物体做匀速直线运动．若为曲线，则表示物体的速度在变化．并不是物体做曲线运动．3．斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，即物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定正方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定正方向相反的方向运动．4．截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置坐标，横轴截距表示位移为零的时刻．♦特别提醒(1)从位移图象上可以确定物体在任意时刻的位移．(2)从位移图象上可以确定物体通过任意位移所需的时间．(3)根据图象的斜率可以判断物体运动的性质．二、速度图象(vt图象)应用要点如图是常见的几种vt图象，对vt图象应注重以下五方面内容：1．点的含义(1)两条速度图象的交点表示该时刻速度相等．(2)与时间轴的交点是速度方向的转折点(此时速度为零，加速度却不为零，有时是加速度的最大点)．(3)折点(顶点)是加速度方向的转折点．2．线：若为倾斜直线表示匀变速直线运动，若为曲线表示变加速运动．3.斜率：图象平行于横轴，说明斜率为零，表示物体做匀速直线运动；图象的斜率为正值，表示物体的加速度与规定的正方向相同；图象的斜率为负值，表示物体的加速度与规定的正方向相反．4．截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻．5.面积：表示某段时间内的位移．若图象与时间轴有交叉点，则物体在某段时间内的总位移为上、下面积的代数和．♦特别提醒(1)由速度图象可求任意时刻的物体的速度、加速度及任意一段时间内的位移．(2)关于物理图象中的面积，只要纵轴和横轴所代表的物理量的乘积恰好是另一物理量，图象围成的面积就代表这个物理量，如vt图围成面积是位移，Fs图围成面积是功率.一、解答追及、相遇问题的常用方法1.物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．2．相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．3.极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论：若Δ0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ0，说明追不上或不能相碰．4.图象法：将两者的v－t图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．追及问题的图象关系①匀加速追匀速能追及且只能相遇一次交点意义：速度相等，两物体相距最远②匀减速追匀速例：如果t1追及，则t2还会相遇当v减＝v匀时，如果Δs＝s0，则恰能追及，这也是避免相撞的临界条件，只相遇一次；若Δss0，则不能追及(其中s0为开始追及时两物体的距离)交点意义：速度相等时若未追及，则距离最近若Δss0(也就是Δs1＝s0时，v减v匀)能相遇两次③匀速追匀加速例：如果t1追及，t2还会相遇规律同上②④匀速追匀减速规律同上①⑤匀加速追匀减速规律同上①⑥匀减速追匀加速规律同上②二、求解追及和相遇问题的基本思路1．分别对两物体研究；2．画出运动过程示意图；3．列出位移方程；4．找出时间关系、速度关系、位移关系；5．解出结果，必要时进行讨论．注意1.研究“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上；两个关系是时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的关键．2．若被追及的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动．3．仔细审题，注意抓住题目中的字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件.请在掌握的“规律方法”后打“√”1．形状一样的图线，在不同图象中所描述的运动规律不同()2．st，或vt图象中数值的正、负表示“s”或“v”的方向；st图象斜率表示物体运动的速度：v＝ΔsΔt；vt图象斜率表示物体的加速度：a＝vt－v0t；vt图象与横轴所包围的面积大小等于位移的大小()3．常用的图象信息：图线、点、斜率、截距、面积等．图象法是解决物理问题的重要方法()4．追及相遇问题中，速度相等是两物体相距最远或最近的临界点；把握两物体的位移关系和时间关系是关键()请在走过的“思维误区”后打“！”1．易看错坐标轴，常将st图象当作vt图象分析，还常将图线当轨迹处理()2．物理图象意义理解错误，不能由图象分析出物体的相应运动过程及特点()3．不能从图象读取有用信息并加以利用，以进一步分析和求解物理问题()4．当思路受阻或问题复杂时，不会想到用图象法巧妙处理，如比较运动学量(s、v、a、t)的大小、解决追及相遇问题等()5．处理追及相遇问题时常忽视隐含条件、临界条件、约束关系的挖掘而导致错误()真题典例·探究题型1位移－时间图象的应用【例1】某质点在东西方向上做直线运动．规定向东的方向为正方向，其位移图象如图所示．试根据图象(1)描述质点运动情况．(2)求出质点在0～8s时间内的位移和路程．(3)求出质点在0～4s、4～8s内的速度．【解析】(1)0～4s、4～6s、6～8s物体做什么运动？向哪个方向运动？何时回到出发点？答0～4s做匀速直线运动，方向向东；4～6s做匀速直线运动，方向向西；6秒末回到出发点；6～8s做匀速直线运动，方向向西．(2)物体在哪个时刻改变运动方向？这一时刻之前的位移是多少？答4s末，s1＝8m.(3)4～8s速度方向改变过吗？4s末和8s末物体在什么位置？4～8s位移为多少？答4～8s物体一直向西运动.4s末物体在出发点以东8m,8s末物体在出发点以西8m.s2＝[(－8)－8]m＝－16m.(4)0～8s内位移为多少？路程为多少？答位移s＝s1＋s2＝－8m，路程d＝|s1|＋|s2|＝24m.(5)0～4s、4～8s内的速度分别为多大？方向呢？答v1＝s1t1＝8m4s＝2m/s，向东v2＝s2t2＝－16m4s＝－4m/s，向西【答案】见解析♦思维拓展上题中图象改为速度—时间图象，0～8s内位移为多大？方向向哪？【答案】16m，方向向东．【方法归纳】分析s－t图象问题应注意以下几点：(1)图象不是轨迹．(2)理解斜率表示速度．(3)抓住图线中的特殊点．【备选例题1】(2009·台湾自然)一质点沿x轴做周期性的运动，其位置坐标x对时间t的关系如图所示．下列有关此质点运动的叙述，何者正确？(应选二项)()A．质点在任一周期的平均速度均为零B．外力对质点所做之功大于零C．当|x|2m时质点以等速率运动D．质点沿x轴做等速度运动【解析】一个周期内质点发生的位移为零，故平均速度为零，(s－t图象)A(s－t图象)正确．由xt图象知在各个|x|2m的区间图线为倾斜的直线且其斜率的绝对值相等，则质点运动中速率不变，再由动能定理知合外力所做功为零，故B错误C正确．由|x|2m知质点在x＝2m与x＝－2m间做往复的周期性运动，D错误．【答案】AC题型2速度－时间图象的应用【例2】一宇宙空间探测器从某一星球的表面垂直升空，宇宙空间探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图表示其速度随时间的变化规律，求探测器在该行星表面能达到的最大高度．(已知tA＝9s，tB＝25s，tC＝45s)【解析】(1)升空后9s末、25s末、45s末，即在图象上的A、B、C三点，探测器的运动情况如何？答A点表示物体达到加速运动的最大速度，B点表示减速到零，C点表示物体反向下降到速度大小为80m/s(2)探测器加速和减速阶段的加速度各为多大？答649m/s24m/s2(3)探测器何时达到最大高度？答25s末(4)三角形OAB的面积多大？探测器能上升的最大高度多大？答800m800m【答案】800m♦思维拓展探测器何时落回地面？【答案】45s末【方法归纳】图象应用的六“看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊点”．①轴：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图象是描述的哪两个物理量间的关系，是位移－时间关系？还是速度－时间关系？同时要注意单位和标度．②线：线上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系．如s－t图象上一个点对应某一时刻的位置，v－t图象上一个点对应某一瞬时速度；线上的一段一般对应一个物理过程，如s－t图象为倾斜的直线表明质点做匀速直线运动；v－t图象若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动．③斜率：表示纵、横坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应．用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题．如s－t图象的斜率表示速度大小，v－t，图象的斜率表示加速度大小．④面积：图象和坐标轴所夹的面积也往往表示另一个物理量．这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析．如s和t乘积无意义，我们在分析s－t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积vt＝s，v－t图象下的“面积”就表示位移．⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在初始(或“边界”)条件下的物理量的大小．由此往往能得到一个很有意义的物理量．⑥特殊点：如交点，拐点(转折点)等．如s—t图象的交点表示两质点相遇：而v－t图象的交点只表示两质点速度相等．【备选例题2】(2009·全国Ⅱ)两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4s时间内的v－t图象如图所示．若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为()A.13和0.30sB．3和0.30sC.13和0.28sD．3和0.28s【解析】当仅在两物体之间存在相互作用时，两物体的总动量守恒，取t＝0和t＝t1时刻列方程：m乙×4＝(m甲＋m乙)×1，有m甲＝3m乙．再由图线乙有4－00.4＝4－1t1，所以t1＝0.3s，B正确．【答案】B题型3一元二次方程的判