高中数学：利用导数研究函数的极值课件(新课标人教B版2-2)

复习:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf单调性的判断方法有哪些？单调性与导数有何关系?f'(x)0f'(x)0设函数y=f(x)在某个区间内可导，•如果f′(x)0，则f(x)在此区间为增函数；•如果f′(x)0，则f(x)在此区间为减函数；•如果f′(x)=0，则f(x)在此区间为常数函数；练习:判断函数f(x)=2x3-6x2+7的单调性。函数的极值函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：yxOabyf(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)一、函数的极值定义•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极小植点。◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，yox0xaboxy0xbacdefoghijxyxfyaboxyxfy103.1图113.1图探究1、图中有哪些极值点和最值点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？练习：课本30页A、1(1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。（2）极大值不一定比极小值大。(3)极值点不一定是最值点。观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。f(x1)0f(x2)0f(x3)0f(b)=0yf(x)yxOabx1x2x3c结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f(x0)=0f(x)0yxOx1abyf(x)f(x)0f(x)0f(x)01、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处是连续的，且f(x0)=0则二、判断函数极值的方法x2•导数为0的点不一定是极值点；•若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数)(xfy,0)(oxf且在点x0左侧和右侧，f’(x)异号.在点x0取得极值的充分必要条件是注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②函数的极值点必在定义域内；③函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②xy2如例1求函数的极值。44xx31y3x-22y′00y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值==28/3当x=2时，y极小值=－4/3(-∞，-2）(-2，2）(2，+∞）+－+极大值28/3极小值-4/31、求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；2、思考与讨论：在区间[-3，5]上，44xx31y322oxy4x4x31xf3123.1图最小值分别是多少？[-3，3]上呢？?,.3大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究baxfya1x2x3xo4x5x6xbxyxfy4、求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最值步骤如何？的最大值，1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f’(x）=0的点；2、计算函数y=f(x)在区间内使f’(x）=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。练习1求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xxf’(x)0f(x)+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)f(x)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习1练习2：下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx例2求函数y=(x2-1)3+1的极值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′－0－0+0+y无极值极小值0无极值解：定义域为R，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=0时，y极小值=0点评：可导函数)(xfy在点x0取得极值的充分必要条件是,0)(oxf且在点x0左侧和右侧，f’(x)异号。练习：课本30页A2（2）例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。练习：1、求函数f(x)=x+2sinx在区间[0,2π]内的极值练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。2、求极值的方法步骤。3、极值与最值的联系与区别。4、求最值的方法步骤。5、注意：不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数.作业：课本30页B1、2、4小结