第二十七章 相似 章末整合提升 课件(人教版九年级下)

章末整合提升热点一分类讨论思想在相似三角形中，当不确定图形或不清楚图中有多少个对应相似的三角形时，解决三角形相似问题就需要分不同的情况讨论．一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：【例1】如图27－1，在△ABC中，∠ACB∠ABC.(1)若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?(2)请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数．图27-1思路点拨：(1)分点D在线段AB上、点D在线段AB的延长线上和点D在线段AB的反向延长线上三种情况讨论．(2)再分∠BAC为直角和钝角两种情况讨论，并且对每种情况按照(1)的方法进行分类讨论．解：(1)①若点D在线段AB上，图27-2由于∠ACB∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD＝∠ABC，使得△ACD∽△ABC.②如图27-2(1)，若点D在线段AB的延长线上，则∠ACD∠ACB∠ABC，与条件矛盾．因此，这样的点D不存在．③如图27-2(2)，若点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，则∠BAC90°∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.因此，这样的点D不存在．综上所述，这样的点D有一个．(2)①当∠BAC为直角时，仿照(1)的方法，易求得在线段AB和线段AB的反向延长线上各有一个点D，使得△ACD∽△ABC，即这样的点D有两个．②当∠BAC为钝角时，仿照(2)的方法，易求得只有线段AB上有一个这样的点D.分类讨论思想是一种很重要的数学思想方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的(如：有理数的概念)；②求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例)；③数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果．[如：函数y＝mx2＋(m－1)x＋2中有参变量m]应用分类讨论，往往能使复杂问题简单化，解题思路清晰，步骤明了．【跟踪训练】1．如图27-3所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AB边上，且AD＝4，在AC上取一点P，使以A，P，D为顶点的三角形与△ABC相似．求AP的长．图27-3解：分两种情况讨论：(1)当∠ADP＝∠B时，△ADP∽△ABC，ADAB＝APAC，∴48＝AP6.∴AP＝3.(2)当∠ADP＝∠C时，△APD∽△ABC，ADAC＝APAB，∴46＝AP8.∴AP＝163.因此AP＝3或AP＝163.2．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．解：(1)当高AD在△ABC内时，如图D65(1)所示，图D65又∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ADB∽△CDA.∵AD2＝BD·DC，∴ADBD＝DCAD.∴∠BAD＝∠C.∵∠CAD＋∠C＝90°.∴∠CAD＋∠BAD＝90°.又∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.(2)当高AD在△ABC外时，如图D65(2)所示，同理可得△ADB∽△CDA，∴∠B＝∠CAD.又∠B＝25°，∴∠ACD＝90°－∠CAD＝65°.∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.故∠BCA的度数是65°或115°.热点二相似三角形的判定判定两三角形相似的常用方法有四种，运用时要根据题目的条件选择恰当的方法，其思路是：1．先找两角对应相等；2．若只有一角对应相等，再找夹这个角的两边的比是否相等；3．若无角相等，就找三组对应边的比是否相等；4．若出现平行线，直接考虑两三角形相似．【例2】已知：正方形的边长为1.(1)如图27-4，可以算出一个正方形的对角线的长是，求两个正方形并排成的矩形的对角线的长，猜想n个正方形并排成的矩形的对角线的长；(2)如图27-5，求证：△BCE∽△BED.图27-4图27-52思路点拨：本题很难一眼看出比值，需动手计算后再做出判断．(1)解：在Rt△AEC中，EC＝AE2＋AC2＝1＋22＝5，在Rt△DHF中，DF＝DH2＋HF2＝1＋32＝10，∴猜想n个正方形并排成的矩形的对角线的长是1＋n2.(2)证明：由(1)，可得BE＝2，∴BEBD＝22，BCBE＝12＝22.∴BEBD＝BCBE.∵∠EBC＝∠DBE.∴△BCE∽△BED.【跟踪训练】3．已知如图27-6(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中)A的两个三角形而言，下列说法正确的是(图27-6A．都相似C．只有(1)相似B．都不相似D．只有(2)相似4．如图27-7，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝()图27-7A．7B．7.5C．8D．8.5B5．(2012年广东梅州)如图27-8，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.图27-8图D66图D67(1)证明：如图D66，∵CD＝CD，∴∠A＝∠B.又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE.(2)证明：如图D67，由AD2＝AE·AC，得AEAD＝ADAC.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD.∴∠AED＝∠ADC.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即有∠AED＝90°.∴直径AC⊥BD.∴CD＝CB.热点三相似三角形的性质和应用相似三角形的性质可总结归纳为：(1)相似三角形对应边成比例，对应角相等；(2)相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【例3】已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G,E是直径AB上一点(不与点A，B，G重合)，直线DE的延长线交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.如图27-9，试证明：OE·OP＝OF2.图27-9证明：连接FO并延长交⊙O于点Q，连接DQ.如图27-10.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.图27-10∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴OEOF＝OFOP.∴OE·OP＝OF2.【跟踪训练】6．如图27-11，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．图27-11127．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图27-12所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底B8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树AB的高度为_____米．图27-125.6图27-138．已知反比例函数y＝m－8x(m为常数)的图象经过点A(－1,6)．(1)求m的值；(2)如图27­13，过点A作直线AC与函数y＝m－8x的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．(2)如图D68，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点E，D，图D68解：(1)∵图象过点A(－1,6)，∴m－8－1＝6，解得m＝2.由题意，得AE＝6，OE＝1，易知AE∥BD.∴△CBD∽△CAE.∴CBCA＝BDAE.∵AB＝2BC，∴CBCA＝13.∴13＝BD6.∴BD＝2，即点B的纵坐标为2.∵B点在y＝－6x图象上，∴当y＝2时，x＝－3.易求得直线AB为y＝2x＋8，∴C(－4,0)．