2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第10讲 圆锥曲线的概念及性质

第二讲圆锥曲线的概念及性质1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p0)图象范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)p2，0轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0e1)e＝ca＝1＋b2a2(e1)e＝1准线x＝±a2cx＝－p2几何性质渐近线y＝±bax2．椭圆中的最值F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有(1)|OP|∈[b，a]．(2)|PF1|∈[a－c，a＋c]．(3)|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]．(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.(5)S△F1PF2＝b2tanθ2(θ＝∠F1PF2)．(6)焦点弦以通径为最短．3．双曲线中的最值F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有(1)|OP|≥a.(2)|PF1|≥c－a.(3)S△F1PF2＝b2tanθ2(θ＝∠F1PF2)．4．抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p0)上的任一点，F为焦点，则有：(1)|PF|≥p2.(2)焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p.(3)A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值．5．双曲线的渐近线(1)求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．题型一圆锥曲线的概念及性质【例1】(2010·四川)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A.0，22B.0，12C．[2－1,1)D.12，1解析：依题意，|PF|＝|FA|，而|FA|＝a2c－c，|PF|≤a＋c，∴a2c－c≤a＋c，∴a2≤ac＋2c2.又e＝ca，∴2e2＋e≥1，∴2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0，又0e1，∴12≤e1，故选D.答案：D拓展提升——开阔思路提炼方法圆锥曲线的性质是高考的必考内容，常以选择、填空形式考查，也在大题中考查，重点考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线．1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴4a2－4c2≤3a2，∴c2a2≥14，即e≥12，∴e的取值范围是12，1.(2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．题型二圆锥曲线的方程(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.联立y＝3x－c，x2a2＋y2b2＝1得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.解得y1＝－3b2c＋2a3a2＋b2，y2＝－3b2c－2a3a2＋b2.因为FA→＝2FB→，所以－y1＝2y2.即3b2c＋2a3a2＋b2＝2·－3b2c－2a3a2＋b2得离心率e＝ca＝23.(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以23·43ab23a2＋b2＝154.由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，得a＝3，b＝5.椭圆C的方程为x29＋y25＝1.拓展提升——开阔思路提炼方法求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解，但要注意焦点所在坐标轴，避免漏解．2．如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．(1)求椭圆的离心率；(2)F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤π2；(3)过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是203，求此时椭圆的方程．(1)解：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则Mc，b2a，kOM＝b2ac，kAB＝ba，∴b2ac＝ba⇒b＝c⇒a＝2c，∴e＝ca＝22.(2)证明：由椭圆定义得：|F1C|＋|F2C|＝2a，cos∠F1CF2＝|F1C|2＋|F2C|2－|F1F2|22|F1C||F2C|＝4a2－4c2－2|F1C||F2C|2|F1C||F2C|＝2b2|F1C||F2C|－1.|F1C||F2C|≤|F1C|＋|F2C|22＝a2，∴cos∠F1CF2≥2b2a2－1＝2c22c2－1＝0，∴∠F1CF2≤π2.(3)解：设直线PQ的方程为y＝－ab(x－c)，即y＝－2(x－c)．代入椭圆方程消去x得：1a2c－12y2＋y2b2＝1，整理得：5y2－22cy－2c2＝0，∴y1＋y2＝22c5，y1y2＝－2c25.∴(y1－y2)2＝22c52＋8c25＝48c225.S△PF2Q＝12·2c·|y1－y2|＝43c25＝203，c2＝25，因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为x250＋y225＝1.题型三热点交汇【例3】(2009·福建卷改编)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝103分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值．(1)解：如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，即a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k0)，解得M103，16k3，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(－2)·x1＝16k2－41＋4k2.由此得x1＝2－8k21＋4k2，y1＝4k1＋4k2，即S2－8k21＋4k2，4k1＋4k2.又B(2,0)，则直线BS的方程为y＝－14k(x－2)，联立直线BS与l的方程解得N103，－13k.∴|MN|＝16k3＋13k＝16k3＋13k≥216k3·13k＝83.当且仅当16k3＝13k，即k＝14时等号成立，故当k＝14时，线段MN的长度的最小值是83.拓展提升——开阔思路提炼方法(1)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或导数为工具，考查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题，是近年高考的热点内容．这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活，值得关注．(2)本题涉及到最值问题时，可先建立问题(即面积)的函数关系式，然后根据其结构特征，运用函数的单调性或基本不等式去获解．求解时应掌握消元技巧，尽量利用根与系数的关系去简化解题过程，提高运算速度和准确度．3．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解：(1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由x2＋3y2＝4，y＝－x＋n，得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋640,解得－433n433.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.所以AC的中点坐标为3n4，n4.由四边形ABCD为菱形可知，点3n4，n4在直线y＝x＋1上，所以n4＝3n4＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝32|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)－433n433.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.点击此处进入专题强化训练