2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第4讲 三角函数的图象及性质

专题二三角函数与平面向量1．三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一．近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等．高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置．无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.2．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一．高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1．2011年高考试题预测(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型．②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asinx＋bcosx的变形都是常考内容．③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.(2)纵观近年高考试题和高考命题改革的发展趋势，下列内容仍是今后高考在平面向量中的重点内容．①向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；掌握向量的加法和减法．②实数与向量的积，两个向量共线的充要条件．③平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算．④平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的条件和向量夹角公式的应用．⑤正弦定理、余弦定理及其应用．预计平面向量在高考试题中仍将以容易题或中档题的形式出现，以考查向量的线性运算、数量积为重点，注重向量知识内部的综合；以考查向量与三角函数、不等式、解析几何等知识的综合为热点，突出向量的工具性作用；以考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用为方向，彰显学以致用的命题趋向．2．2011年高考应试策略(1)鉴于高考对三角部分知识的考查难度较低，所以在平时训练中要准确把握习题难度，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在提高基础知识的熟练度和准确度上，但由于这部分内容公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要多花时间加强训练，熟练掌握同角三角函数基本关系式、诱导公式、倍角公式、半角公式以及正、余弦定理，掌握三角恒等变形的常用方法和简单技巧．同时注意三角函数与其他知识的交汇问题，复习时还要重视常用数学思想方法的渗透，比如数形结合思想、转化与化归思想、特殊值法等．总之，三角函数的复习，要立足基础，强化训练，综合应用，加强能力．(2)近年高考对向量的考查，难度呈下降趋势，所以要把握好复习的尺度，控制好难度，做到贴近课本，夯实基础，适可而止地复习交汇问题．①夯实平面向量的基础知识平面向量的基础知识包括平面向量的概念、性质、运算等知识，这类试题属于基础题，多为概念辨析、图形识读或简单计算等，只要深刻理解向量的概念性质，把握住向量运算的几何意义和向量的两种运算与实数运算的区别与联系，求解就不会有太大困难．②重视向量工具的应用向量数量积的几何意义与物理意义，向量夹角公式，向量平行、垂直的充要条件是向量工具的重要内容．在解决向量与代数、三角函数、几何等交汇问题时，应自觉运用或创造条件，调整思维方向，建立恰当的坐标系，运用向量工具简捷解决问题．③掌握解三角形问题的基本思路正弦定理、余弦定理揭示了三角形的边与其内角之间的联系与规律，是最基础的知识，应予以重点掌握，解三角形的基本思路是先理解题意，分清已知量与未知量，画出示意图(一个或几个三角形)；然后根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，运用正弦定理或余弦定理有序地解这些三角形；最后，检验所求的解是否符合实际意义，从而获得实际问题的解．第一讲三角函数的图象及性质1．任意角和弧度(1)弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．(2)弧长公式：l＝|α|R，扇形的面积公式：S＝12lR＝12|α|R2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．诱导公式公式一sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式五sinπ2－α＝cosα，cosπ2－α＝sinα公式六sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα4．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2π2ππ单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增最值当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换①y＝sinx――――――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)―――――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)――――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，②y＝sinx―――――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y＝sinωx――――――――→向左φ0或向右φ0平移||φω个单位y＝sin(ωx＋φ)――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．题型一三角函数的概念及基本关系式的应用【例1】如右图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A、B的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因为α为锐角，故sinα0，从而sinα＝1－cos2α＝7210.同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×12＝－1又0απ2，0βπ2，故0α＋2β3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.拓展提升——开阔思路提炼方法本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查考生的运算求解能力．根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标实际上就是α，β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切，剩下的问题就是代入公式计算了．1．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tanπ4＋2α＝________.解析：∵2kπ＋πα2kπ＋32π，∴4kπ＋2π2α4kπ＋3π(k∈Z)，而cos2α＝－35，∴sin2α＝45，得tan2α＝－43，∴tanπ4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝1－431＋43＝－17.答案：－17题型二三角函数的性质【例2】(2009·安徽卷)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈ZB.kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈ZC.kπ－π3，kπ＋π6，k∈ZD.kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z解析：f(x)＝2sinωx＋π6，∵y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，∴f(x)的周期为T＝π，又∵T＝2πω，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π6，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z，故选C.答案：C拓展提升——开阔思路提炼方法求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．值得注意的是，若ω0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再用换元法求单调区间．2．(2010·陕西)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在π4，π2上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，其增区间为kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z.f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．周期为T＝2πω＝2π2＝π，[f(x)]max＝1，故选B.答案：B题型三三角函数的图象及性质【例3】(2010·山东)已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12·sinπ2＋φ(0φπ)．所以f(x)＝12sin2xsinφ＋1＋cos2x2cosφ－12cosφ＝12·sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)．又函数图象过点π6，12，所以12＝12·cos2×π6－φ，即cosπ3－φ＝1.又0φπ，所以φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cos