2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第6讲 平面向量

第三讲平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．距离公式与定比分点坐标公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，且P1P→＝λPP2，则x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ.题型一向量的有关概念及其运算【例1】（1）(2010·湖北)已知ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．5B．4C．3D．2(2)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2(1)解析：如图所示，ABC中，D是BC边的中点，由MA→＋MB→＋MC→＝0易知M是△ABC的重心，∴AB→＋AC→＝2AD→.又∵AD→＝32AM→＝32AM→，∴AB→＋AC→＝2AD→＝3AM→，∴m＝3，故选C.答案：C(2)解析：A项，a与b共线，则∃λ∈R，使得a＝λb，则有m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B项，b⊙a＝np－mq＝－(a⊙b)；C项，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)；D项，(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2.答案：B拓展提升——开阔思路提炼方法向量的有关概念及运算要注意以下几点：(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误．1．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：A中，a，b同向则a，b共线；但若a，b共线，则a，b不一定同向，因此A不是充要条件．若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线；但a，b共线时，a，b不一定是零向量，从而B不是充要条件．当b＝λa时，a，b一定共线；但a，b共线时，若b≠0，a＝0，则b＝λa就不成立，从而C也不是充要条件.对于D，假设λ1≠0，则a＝－λ2λ1b，因此a，b共线；反之，若a，b共线，则a＝nmb，即ma－nb＝0.令λ1＝m，λ2＝－n，则λ1a＋λ2b＝0.答案：D题型二平面向量的数量积【例2】(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；拓展提升——开阔思路提炼方法(1)在向量问题中，求线段的长度问题，通常用到两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a·(b·c)≠(a·b)c.2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角；(2)求|a＋b|；(3)若AB→=a，AC→＝a，AC→＝b，求△ABC的面积．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.即a与b的夹角为120°.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|=|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→||AB→|sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.题型三向量的平行与垂直【例3】(2009·江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.(1)解：由a与b－2c垂直得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)解：b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，故a∥b.拓展提升——开阔思路提炼方法向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．即x2＋y2＋4x－2x－15＝0.联立x＋2y＝0，x2＋y2＋4x－2y－15＝0，解得x＝－6，y＝3或x＝2，y＝－1.题型四热点交汇【例4】(2009·广东)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0φπ2，求cosφ的值．解析：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝15.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝55⇒sinθ＝255.(2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010有，sinθcosφ－cosθsinφ＝1010⇒sinφ＝2cosφ－22，∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－22cosφ＋12＝1⇒5cos2φ－22cosφ－12＝0.解得cosφ＝22，cosφ＝－210，∵0φπ2，∴cosφ＝22.解法二：∵0θ，φπ2，∴－π2θ－φπ2.∴cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝31010.故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.拓展提升——开阔思路提炼方法向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性，解这类问题的基本思路是将向量转化为代数运算．常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．4．(2010·启东调研)已知向量a、b、c、d及实数x、y，且|a|＝|b|＝1，c＝a＋(x－3)b，d＝－ya＋x2b，若a⊥b，c⊥d，且|c|≤10.(1)求y关于x的函数关系y＝f(x)及定义域；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最小值．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵c＝a＋(x－3)b，|a|＝|b|＝1，且|c|≤10，∴|c|2＝c2＝[a＋(x－3)b]2＝a2＋2(x－3)a·b＋(x－3)2b2＝1＋(x－3)2≤10.解之，得0≤x≤6.∵c⊥d，且|a|＝|b|＝1，∴c·d＝[a＋(x－3)b]·(－ya＋x2b)＝－ya2－(x－3)ya·b＋x2a·b＋x2(x－3)b2＝－y＋x2(x－3)＝0.∴y＝x2(x－3)，即y关于x的函数关系式为y＝x2(x－3)(0≤x≤6)．(2)∵y＝x3－3x2，∴y′＝3x2－6x，令y′＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,6)6Y′－＋y0－4108∴函数f(x)的单调递增区间为[2,6]，单调递减区间为[0,2),最小值为f(2)＝－4.点击此处进入专题强化训练点击此处进入专题达标检测二