2011届高考数学二轮复习课件2.7 函数与方程

要点梳理1.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.§2.7函数与方程f(x)=0基础知识自主学习（2）几个等价关系方程f(x)=0函数y=f(x)的图象与_____有交点y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.f（a）·f（b）0(a，b)f(c)=0cx轴零点2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)无一个两个3.二分法（1）二分法的定义对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间［a，b］，验证______________,给定精确度；第二步，求区间（a，b）的中点x1；f(a)·f(b)0一分为二零点f(a)·f(b)0第三步，计算_______：①若_______，则x1就是函数的零点；②若_____________，则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若______________，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));第四步，判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值a（或b）;否则重复第二、三、四步.f(x1)f(a)·f(x1)0f(x1)·f(b)0f(x1)=0基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是（）A.0，2B.0，C.0，D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x=∴g（x）的零点为0，212121,21.21C2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.a≤1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则f(-1)·f(1)≤0,即51a511a151aa或.151aa或D3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（）解析图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函数f（a）·f（b）0.B4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D，∵f（1）=e-30，f（2）=e20，∴f（1）f（2）0.D5.设函数则函数f(x)-的零点是__________.解析当x≥1时，当x1时，(舍去大于1的根).∴的零点为,)1,(2),1[22)(2xxxxxxf41,04122,041)(xxf即,0412,041)(2xxxf即.89x252x41)(xf.252,89252,89题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.思维启迪题型分类深度剖析解（1）方法一∵f（1）=12-3×1-18=-200，f（8）=82-3×8-18=220，∴f(1)·f(8)0，故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点.方法二令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8].∴(x-6)(x+3)=0，∴x=6∈[1，8],x=-3[1，8]，∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.(2)方法一∵f（1）=log23-1log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,∴f（1）·f（3）0，故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件.探究提高知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x3+1;（2）x∈（0，1）.解（1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.（2）方法一令f(x)=0，∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,1)(xxxf,01,012xxxx得,1)(xxxf方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当0x1时,两图象没有交点.故x∈(0，1)没有零点.,1)(xxxf,1xy题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法，画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高知能迁移2已知函数(a1),判断f(x)=0的根的个数.解设f1(x)=ax(a1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.12)(xxaxfx,12xx11312xxx题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之.（2）利用图象求解.思维启迪x2e解（1）方法一∵等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e，+∞)，4分因而只需m≥2e，则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图：4分可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.6分e,2e2e)(22xxxgxxxg2e)(方法三解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根，4分等价于故m≥2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，0e40222mm故,e2e20mmm或作出（x0）的图象.∵f（x）=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞).12分xxxg2e)(此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.探究提高知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)0∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤或a≥1.51检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)=0时，a=解之得x=或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠综上所述,a或a1.,51,,)(.)(05651305651322xxxfxxxf即令此时5251511.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定理；②数形结合；③解方程f（x）=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.方法与技巧思想方法感悟提高1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.失误与防范2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在［a,b］上连续;(2)f(a)·f(b)0;(3)在（a,b）内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.一、选择题1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A.[0，1]B.[1，2]C.[-2，-1]D.[-1，0]解析∵f（-1）=3-1-(-1)2=f（0）=30-02=10，∴f（-1）·f（0）0，∴有零点的区间是[-1，0].,032131D定时检测2.(2009·天津理，4)设函数(x0),则y=f(x)（）A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点xxxfln31)(),1,e1(),1,e1()1,e1()1,e1(解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点.答案D)1,e1(,0)1e31(31)1ln31()e1lne131()1()e1(ff.093ee)lne31()1ln131((e))1(ff又3.（2009·福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则)21ln()(xxf.01212)21(,02322212)41(gg,21410x又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x