2011届高考数学二轮复习课件3.2 导数的应用

要点梳理1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为；f′(x)≤0f(x)为.§3.2导数的应用增函数减函数基础知识自主学习2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)=0f′(x)=0极大值极小值3.函数的最值（1）在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在（a,b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)f(a)4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:基础自测1.函数y=x3-3x的单调递减区间是（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-1，1）D.（-∞，-1），（1，+∞）解析∵y′=3x2-3,∴由3x2-3＜0,得-1＜x＜1.C2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.［3,+∞)B.［-3，+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)解析∵f(x)=x3+ax-2在（1，+∞）上是增函数，∴f′(x)=3x2+a≥0在（1，+∞）上恒成立.即a≥-3x2在（1，+∞）上恒成立.又∵在（1，+∞）上-3x2＜-3,∴a≥-3.B3.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值，最小值分别是（）A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16解析∵y′=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.A4.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′(x)在（a，b）内的图象如图所示,则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析f′(x)＞0时,f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x)＞0.由图象可知只有1个极小值点.A5.（2009·辽宁文，15）若函数f(x)=在x=1处取极值，则a=.解析因为f(x)在x=1处取极值，所以1是f′(x)=0的根，将x=1代入得a=3.312xax.)1(2)1(22)(22222xaxxxaxxxxf题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a的范围.思维启迪题型分类深度剖析解（1）由已知f′(x)=3x2-a.∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只要a≤0.又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.知能迁移1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解f′(x)=ex-a.(1)若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a＞0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex＞0，∴a≤0.（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞,0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.题型二函数的极值与导数【例2】设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.（1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程组求解.（2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断.思维启迪解（1）f′(x)=+2bx+1,xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.61,32,0142)2(.0121)1(2xxxxxxxxxfbabafbaf函数定义域为（0，+∞），列表x(0,1)1(1，2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系（f′(x)=0）建立字母系数的方程，通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.探究提高知能迁移2已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.（1）讨论f(1）和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.解（1）f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意，3a+2b-3=03a-2b-3=0f′(1)=f′(-1)=0,即,解得a=1,b=0.∴f（x）=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f′(x)=0,得x=-1,x=1.若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，则f′(x)＞0,故f(x)在（-∞,-1)上是增函数，f(x)在（1,+∞)上是增函数.若x∈(-1,1)，则f′(x)＜0,故f(x)在（-1，1）上是减函数.所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.（2）曲线方程为y=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=-3x0.因f′(x0)=3(-1),故切线的方程为y-y0=3(-1)(x-x0),注意到点A（0，16）在切线上，有16-(x-3x0)=3(x-1)(0-x0),化简得x=-8,解得x0=-2.所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0.30x20x20x302030题型三函数的最值与导数【例3】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f′(x);(2)若f′(-1)=0，求函数f(x)在［-2，2］上的最大值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值.解（1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f′(x)=3x2-2ax-4.思维启迪（2）因为f′(-1)=0,所以a=,有f(x)=x3-x2-4x+2,所以f′(x)=3x2-x-4.又f′(x)=0,所以x=或x=-1.又f=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在［-2，2］上的最大值、最小值分别为、.21213434275029292750探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在［a，b］内所有使f′（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f′（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.知能迁移3已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0，求函数y=f(x)在[，1]上的最大值和最小值.解∵f′(x)=3x2+2ax+1,又f′(-1)=0，∴3-2a+1=0，即a=2.∴f′（x）=3x2+4x+1=3（x+）(x+1).由f′(x)＞0，得x＜-1或x＞-；由f′(x)＜0，得-1＜x＜-.23313131因此函数f(x)的单调递增区间为[，-1]，[，1]，单调递减区间为[-1，].∴f（x）在x=-1取得极大值为f(-1)=2;f(x)在x=取得极小值为f=又∵f=f(1）=6，且＞∴f(x)在[,1]上的最大值为f(1)=6,最小值为f=.2331313131.275023,8132750,8132323813题型四生活中的优化问题【例4】(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.关键抽象出具体函数关系式，运用导数去解决.解（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.2分(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.4分∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.在x=6+a两侧L′的值由正变负.所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).7分3232328323229思维启迪②当9≤6+a≤即≤a≤5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-