2012届高考复习方案数学理科(北师版)第3单元第17讲-同角三角函数的关系和诱导公式

第17讲│同角三角函数的关系和诱导公式第17讲同角三角函数的关系和诱导公式知识梳理1．同角三角函数基本关系式(1)商数关系：______________________；(2)平方关系：______________________.第17讲│知识梳理tanα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝12．诱导公式第17讲│知识梳理第17讲│知识梳理若把α看成锐角时，则角2kπ＋α，π－α，π＋α，－α分别可看成第______________象限角．这几组角的三角函数公式的记忆口诀是：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角时，则角π2－α，π2＋α，3π2－α，3π2＋α分别可看成第______________象限角．这几组角的三角函数公式的记忆口诀是：函数名改变，符号看象限．一、二、三、四一、二、三、四要点探究►探究点1诱导公式及应用第17讲│要点探究1(1)[2010·全国卷Ⅰ]cos300°＝()A．－32B．－12C.12D.32第17讲│要点探究(2)[2010·惠州调研]cos2600°等于()A．±32B.32C．－32D.12(3)[2010·重庆卷]下列关系式中正确的是()A．sin11°cos10°sin168°B．sin168°sin11°cos10°C．sin11°sin168°cos10°D．sin168°＜cos10°sin11°[答案](1)C(2)D(3)C第17讲│要点探究[解析](1)cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.(2)由于600°在第三象限，所以cos600°0，所以cos2600°＝－cos600°＝－cos(360°＋240°)＝－cos240°＝－cos(180°＋60°)＝cos60°＝12.(3)因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，又由于正弦函数y＝sinx在区间0，π2上为递增函数，因此sin11°sin12°sin80°，即sin11°sin168°cos10°.第17讲│要点探究设f(θ)＝2cos3θ＋cos2θ＋π－2cosπ－θ2＋2cos27π＋θ＋cos－θ，求fπ3的值．第17讲│要点探究[解答]f(θ)＝2cos3θ＋cos2θ＋2cosθ2＋2cos2θ＋cosθ＝cosθ2cos2θ＋cosθ＋22cos2θ＋cosθ＋2＝cosθ，∴fπ3＝cosπ3＝12.►探究点2同角三角函数基本关系式及应用第17讲│要点探究2(1)若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝()A.45B．－35C.34D．－34(2)已知sin(3π＋θ)＝14，则π＋θcosθπ＋θ－1]＋θ－2πθ＋2ππ＋θ＋－θ＝()A．16B．－16C．32D．－32第17讲│要点探究(3)已知1＋sinxcosx＝－12，那么cosxsinx－1的值是()A.12B．－12C．2D．－2[思路](1)根据已知可确定角θ所在的象限，然后利用同角三角函数关系求得；(2)根据诱导公式可以确定θ的正弦值，然后使用诱导公式和同角三角函数关系化简求解；(3)通过变换使用同角三角函数关系．第17讲│要点探究[解答](1)证明：任取x1x2，由条件(1)得f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，∵x2－x10，由条件(2)得f(x2－x1)0，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在R上单调递减．(2)在(1)中，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，再令y＝－x得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数，∴f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－f(1)－f(2)＝－f(1)－f(1)－f(1)＝－3f(1)＝6，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－6.第17讲│要点探究[点评]根据题目所给的条件，往往需要探求函数有哪些特殊的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，本题将奇偶性与单调性有机结合起来，而函数的单调性是解决抽象函数最值题的常见方法．第17讲│要点探究[思路]根据同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和已知条件联立即可求出sinα，cosα，再根据同角三角函数关系求解；或者利用同角三角函数关系求出sinα－cosα的值，再和已知条件联立求出sinα，cosα.3若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15，则tanα的值为()A.43B．－43C．－34D．－43或－34[答案]B第17讲│要点探究[解析]方法一：由sin2α＋cos2α＝1，sinα＋cosα＝15，解得sinα＝45，cosα＝－35或sinα＝－35，cosα＝45.因为α∈(0，π)，所以sinα0，所以sinα＝45，cosα＝－35.所以tanα＝sinαcosα＝－43.第17讲│要点探究方法二：将已知条件平方得2sinαcosα＝－2425，由这个结果可得角α是第二象限角，并且(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925，由于sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝75，将该式与sinα＋cosα＝15联立，解得sinα＝45，cosα＝－35.所以tanα＝sinαcosα＝－43.第17讲│要点探究已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求1cos2x－sin2x的值．[思路]思路一：由sinx＋cosx＝及平方关系式解出sinx，cosx代入求解．思路二：注意到sinx－cosx与sinx＋cosx及sinx·cosx之间的关系，可以整体求出2，再确定sinx－cosx符号，从而求出．第17讲│要点探究[解答]方法一：(1)联立方程：sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1.②由①得sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0.∵－π2＜x＜0，∴sinx＝－35，cosx＝45，∴sinx－cosx＝－75.第17讲│要点探究(2)1cos2x－sin2x＝1452－－352＝257.第17讲│要点探究方法二：(1)∵sinx＋cosx＝15，∴(sinx＋cosx)2＝152，即1＋2sinxcosx＝125，∴2sinxcosx＝－2425.∴(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925.①又∵－π2＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx－cosx＜0.②由①②可知，sinx－cosx＝－75.第17讲│要点探究(2)1cos2x－sin2x＝1x－sinxx＋sinx＝175×15＝257.►探究点3齐次式的应用第17讲│要点探究[思路]根据同角三角函数的关系，转化为关于正切的关系后求解，或者把已知的正切关系转化为正余弦关系后求解．4若tanα＝2，求：(1)sinα＋cosαcosα－sinα的值；(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．第17讲│要点探究[解答]方法一：(1)cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝1＋21－2＝－3－22.(2)原式＝2sin2α－sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tanα＋1tan2α＋1＝4－2＋13＝5－23.第17讲│要点探究方法二：由tanα＝2得sinα＝2cosα，再由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝13.(1)sinα＋cosαcosα－sinα＝2cosα＋cosαcosα－2cosα＝1＋21－2＝－3－22.(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝2(2cosα)2－2cosαcosα＋cos2α＝(5－2)cos2α＝5－23.第17讲│要点探究[点评]一个关于正弦和余弦的齐次分式，可以通过分子分母同时除以一个余弦的方幂将其转化为一个关于正切的分式，只要知道了正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．本题第二个问题的分母是1，通过1＝sin2α＋cos2α的代换，也是一个齐次分式．第17讲│要点探究1已知1＋tanx1－tanx＝3＋22.求sinxcosx和sinx·(sinx－3cosx)的值．[思路]根据已知求出tanx的值，再把求解目标根据同角三角函数关系化为关于tanx的式子．第17讲│要点探究[解答]由已知得tanx＝22，sinxcosx＝sinxcosxsin2x＋cos2x＝tanxtan2x＋1＝23；sinx(sinx－3cosx)＝sin2x－3sinxcosx＝sin2xsin2x＋cos2x－2＝tan2xtan2x＋1－2＝13－2.第17讲│要点探究2若2sin2x－cos2x＋sinxcosx－6sinx＋3cosx＝0，求2cos2x＋2sinxcosx1＋tanx的值．[思路]把已知条件进行变换，得到关于sinx，cosx的关系，求出tanx的值，再根据齐次式的变换方法，变换求解目标为关于tanx的表达式．第17讲│要点探究[解答]已知得(2sinx－cosx)(sinx＋cosx－3)＝0，∴2sinx－cosx＝0，即tanx＝12，∴2cos2x＋2sinxcosx1＋tanx＝2cos2x＋2sinxcosx＋tanx2x＋cos2x＝2＋2tanx＋tanx2x＋＝85.规律总结第7讲│规律总结1．诱导公式的功能是求解任意角的三角函数值、对三角函数式进行化简，在使用诱导公式时一定要注意其准确性，一个是符号、一个是函数名称；同角三角函数基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求解另外的三角函数值以及对同角的三角函数式进行变换，同角三角函数的基本关系和方程思想联系密切，注意方程思想的运用．2．在三角函数求值问题中符号是根据求解目标的符号确定的，在求值过程中要分析清楚求解目标角所在的象限、确定求解的三角函数值的符号．符号选取体现在使用诱导公式和同角三角函数关系的平方关系中．第7讲│规律总结3．在三角函数问题中经常使用常数代换法，其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝sinαcosα联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tanα＝sinαcosα可以把含有sinα，cosα的齐次式化为tanα的关系式．