第一章 场论和张量初步(3)

第一章场论和张量初步梯度•表达式：•性质：梯度的方向与等位面的法线方向重合，且指向增大的方向，大小是方向上的方向导数。gradijkxyzgradnn通量•通量：矢量通过面积元的通量。•若为速度，则表示流体的流量。•将在曲面上积分，得•称为矢量通过面的通量。=nandSadSadSaVVndSandSSSandSaS散度•表达式：•物理意义：表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量的通量。若散度在一点大于零，表明在该点附近流向该点的量少于自该点流出的量，我们称该点为“源”，若散度在一点处小于零，则表明在该点附近流向该点的量多余自该点流出的量，称该点为“漏”。00limlimnyssxzVVandSadSaaadivaVVxyzMdivaa的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：(1)无源矢量经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。(2)矢量管不能在场内发生或终止。(3)无源矢量经过张于已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。L无源场及其性质5=0divaaa环量•给定一矢量场，在场内任意取一曲线，作线积分：•若是封闭曲线，则环量为xyzLLadradxadyadzL,aartL=xyzLLadradxadyadz0lim==++LSxyzyyxxzzijkadrrotaSxyzaaaaaaaaaijkyzzxxy旋度•表达式•物理意义：矢量在某点附近各方向上环量强弱的程度,进而得到其单位面积平均环量的极限的大小程度。的矢量场称为无旋场若，则1.7无旋场及其性质8=0rotaagrad=0rota若则称为位势场。即位势场与无旋场是等价的。agrada=0rota222222zyx拉普拉斯算子：微分算子9哈密顿算子：梯度：散度：旋度：zkyjxi=gradijkxyz=divyxzaaaaaxyz++yyxxzzaaaaaaaijkrotayzzxxy张量基本概念•标量（零阶张量）•例如：质量，温度……其值与坐标系选取无关。•矢量（一阶张量）•例如：位移，速度……e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p矢量在笛卡尔坐标系中分解为：u31122331=iiiueuueueue其中u1,u2,u3是的三个分量，是单位基矢量。u123,,eee10矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则。张量基本概念e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p11矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u或分解式记法：分量记法：张量基本概念u31122331=iiiueuueueueiu12张量基本概念•张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。•张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于待定坐标系的表达物理定律的方法。在标量和向量的定义中，强调客观存在的物理量是不依赖坐标系而存在的不变量，例如质量的大小，速度的方向和大小等，这种定义方式比较直观易于理解。张量所表示的物理量也是客观存在的，也具有与坐标系无关的特性。13张量表示法•由于张量常常包含多个分量，在公式中要把涉及的分量一一写出必然非常繁杂，因此规定下述张量表示法。(A)指标变量的集合：nxxx,,,21nyyy,,,21表示为：,1,2,,ixin,1,2,,jyjn写在字符右下角的指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。在张量表示法中，将坐标x、y、z改写成x1、x2、x314张量表示法(B)求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。pzazaza332211式中ai,p是常数。这个方程可写成:应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。例：三维空间的平面方程为：iiazp31iiiazp15张量表示法•梯度•散度•全微分33121123==yxiiziiiaaaaaaaadivaxyzxxxxxix12312331iiiiiddxdydzdxdxdxxyzxxxdxdxxx16gradijkxyz克罗内克尔(Kronecker)符号•符号定义为ij0,1,ij当ij时当ij时17二阶张量•二阶笛卡尔张量，简称二阶张量，通常用下列几种符号表示：•其中称为二阶张量的分量。张量和其分量都能用这一符号表示。•个数定义一个阶张量。111213212223313233ijijpppPppppppppijp3nn18柱坐标柱坐标19柱坐标系中的微分表达式•柱坐标系直角坐标系中任一点在柱坐标系中，可以表示为即柱坐标为,,z20柱坐标系中的微分表达式直角坐标系中，哈密顿算符为柱坐标系中，半径方向单位向量为e21柱坐标系中的微分表达式从右图中可以看出而可以找到与垂直的单位向量为因而柱坐标中Z方向与直角坐标系中的Z方相同，因而有22柱坐标系中的微分表达式联立将某点分别对求偏导：,,z23柱坐标系中的微分表达式柱坐标系下的哈密顿算子：24柱坐标系中的微分表达式梯度：散度：旋度：251zFFFgradFFeeez11rzFrFFdivFrrrz1rzrzeeerotFFrrzFrFF22222211FFFFrrrrrz球坐标系中的微分表达式•球坐标26,,r球坐标系中的微分表达式球坐标系下的哈密顿算子：11sinreeerrr22sinsin1sin211cotsinrrrvrrvvrVrrvvvvvrrrrr梯度：散度：旋度：2sin1sinsinrrerereVrrvrvrv11sinrFFFFeeerrr