高三一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性

1.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.一、函数的奇偶性2.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.二、简单性质研究半个区间！1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.反之成立！2.单调性:3.奇函数:f(0)=0(0在定义域中),偶函数:f(x)=f(|x|).3.若函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.例:函数f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)是既奇又偶函数.三、函数奇偶性的判定方法1.根据定义判定:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).2.利用定理,借助函数的图象判定:3.性质法判定:在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数.(注意取商时分母不为零!)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定=1.f(x)f(-x)四、函数的周期性如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数的一个周期.若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为函数的最小正周期.若周期函数f(x)的最小正周期为T,则f(x)(0)也为周期函数,且最小正周期为.||T0)2()(TfTxf的奇函数，则为周期重要结论：若对称。则其图象关于直线若函数满足0),()()1(xxfxf对称。则其图象关于直线若函数满足axxafxaf),()()2(对称。则其图象关于直线若函数满足2),()()4(baxxbfxaf对称。则其图象关于直线若函数满足axxafxf),2()()3(六、奇偶性的推广（周期）证明用解析法对称。则其图象关于点若函数满足)0,0(,0)()()1(xfxf对称。则其图象关于点若函数满足)0,(,0)()()2(axafxaf对称。则其图象关于点若函数满足)0,2(,0)()()3(baxbfxaf对称。则其图象关于点若函数满足),(,2)()()4(babxafxaf是它的一个周期。是周期函数，且则函数若函数满足baxfxbfxbfxafxaf2)()()(),()()1(是它的一个周期。是周期函数，且则函数若函数满足baxfxbfxbfxafxaf2)(0)()(,0)()()2(是它的一个周期。是周期函数，且则函数若函数满足baxfxbfxbfxafxaf4)(0)()(),()()3(aTbxfbaxf2)0()()()1(aTbxfaxf2)()()2(aTxfxfaxf2)(1)(1)()3(aTxfxfaxf41)(1)()()4(.2)(,)(1)(),0(1)()()5(的周期函数为周期为则或若axfxfaxfaaxfxf六、典型例题1.判断下列函数的奇偶性：偶函数奇函数既奇又偶函数非奇非偶函数(1)f(x)=;2x(1+2x)2(2)f(x)=lg(x+x2+1);(3)f(x)=log2(1-x2+x2-1+1);(4)f(x)=(1-x);1-x1+x奇函数(5)f(x)=;|x+3|-3lg(1-x2)偶函数(6)f(x)=x(+).3x-1112【解题回顾】本题应先化简f(x)，再判断f(x)的奇偶性，若直接判断f(x)的奇偶性。()fx因此既是奇函数又是偶函数。2.(1)设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性:①F(x)=[f(x)+f(-x)];②G(x)=[f(x)-f(-x)];1212(2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数,若f(x)-g(x)=()x,比12较f(1)、g(0)、g(-2)的大小.4.设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足:①存在正常数a,使f(a)=1;②f(x1-x2)=.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)f(1)g(0)g(-2)偶函数奇函数y=(2x-2-x)+(2x+2-x)1212g(x)=-(2-x+2x).12f(x)=(2-x-2x),12f(a+x)=1-,f(x)+12f(2a+x)=-,f(x)1f(4a+x)=f(x).5.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.6.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.7.已知f(x)是定义在R上的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)且f(0)0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)若存在正数m,使f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T(T0)的值.f(x)=2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2x≤0)0,0,f(-1)=0,f(-b)=-f(b),奇函数(1)f(0)=1,f(-b)=f(b),(2)考虑f(a+m),f(a+2m),f(a+4m).1.设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)1,f(2)=a,则()A.a2B.a-2C.a1D.a-12.已知奇函数f(x)在x0时的表达式为f(x)=2x-,则当x-时有()1214A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)+f(-x)0D.f(x)+f(-x)0课堂练习3.函数f(x)=的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数|x-2|4-x2DBC4.已知y=f(x-1)是偶函数,则y=f(x)的图象关于()A.直线x+1=0对称B.直线x-1=0对称C.直线x-=0对称D.y轴对称12A5.奇函数f(x)在[3,7]上是增函数,在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为()A.5B.-5C.-13D.-156.奇函数f(x)在[-1,0]上是减函数,,是锐角三角形的两个内角,且,则下列不等式中正确的是()A.f(cos)f(cos)B.f(sin)f(sin)C.f(cos)f(cos)D.f(sin)f(cos)DD7.已知f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(m,n)对称,其中ma.求证f(x)是以4(a-m)为周期的周期函数.证:由已知,f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2m-x)=2n,∴f[4(a-m)+x]=f[2a-(4m-2a-x)]=f(4m-2a-x)=f[2m-(2a+x-2m)]=2n-f(2m-x)=2n-[2n-f(x)]=f(x).∴f(x)是以4(a-m)为周期的周期函数.=2n-f(2a+x-2m)=2n-f[2a-(2m-x)]