高中数学 第3章1课时导数及其应用课件 新人教A版选修2-2

第三章导数及其应用基础知识梳理1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝limΔx→0ΔyΔx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝.limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δxy′|x＝x0limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx基础知识梳理(2)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.y′limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)基础知识梳理曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线有何不同？【思考·提示】前者P为切点；后者点P可以是切点也可以不是．一般曲线的切线与曲线可以有一个或一个以上的公共点．3．几种常见函数的导数(1)C′＝(C为常数)；(2)(xn)′＝(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝；(4)(cosx)′＝；(5)(ex)′＝；(6)(ax)′＝；基础知识梳理0nxn－1cosx－sinxexaxlna(a0且a≠1)(7)(lnx)′＝；(8)(logax)′＝(a0且a≠1)．1x1xlna基础知识梳理4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)[f(x)g(x)]′＝．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝或写作f′x(φ(x))＝．基础知识梳理y′u·u′xf′(u)·φ′(x)1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()答案：B三基能力强力A.193B.103C.163D.1332．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5答案：A三基能力强力3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx答案：B三基能力强力4．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________.三基能力强力5．(2009年高考江苏卷改编)已知点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0，则点P的坐标为________．答案：(－2,15)，(2，－9)三基能力强力根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：课堂互动讲练考点一利用导数的定义求函数的导数(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；课堂互动讲练(3)得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记作：一差、二比、三极限．课堂互动讲练例1【思路点拨】求Δy→求ΔyΔx→求limΔx→0ΔyΔx.利用导数的定义求函数y＝1x的导数．课堂互动讲练【解】∵Δy＝1x＋Δx－1x＝x－x＋Δxx2＋x·Δx＝－Δxx2＋x·Δx(x＋x＋Δx)，∴ΔyΔx＝－1x2＋x·Δx(x＋x＋Δx)，∴limΔx→0ΔyΔx＝－12xx＝－12x－32，即y′＝－12x－32.【规律总结】函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．课堂互动讲练1．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．课堂互动讲练考点二导数的运算2．对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便．课堂互动讲练课堂互动讲练例2求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1.(5)y＝ln(3x－2)＋e2x－1.【思路点拨】课堂互动讲练观察所给的函数形式利用导数公式和运算法则求导化简变形【解】(1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.课堂互动讲练法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.课堂互动讲练(4)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2xlnx(x2＋1)2＝x2＋1－2x2lnxx(x2＋1)2.课堂互动讲练(5)y′＝[ln(3x－2)＋e2x－1]′＝[ln(3x－2)]′＋(e2x－1)′＝13x－2·(3x－2)′＋e2x－1(2x－1)′＝33x－2＋2e2x－1.【误区警示】(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．课堂互动讲练函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．因此求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．课堂互动讲练考点三导数的几何意义课堂互动讲练例3(解题示范)(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；【思路点拨】首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．课堂互动讲练(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【解】(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.4分课堂互动讲练(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，∴直线l的方程为：y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，整理得x03＝－8，6分∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，课堂互动讲练∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).8分法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，课堂互动讲练则k＝y0－0x0－0＝x03＋x0－16x0.又∵k＝f′(x0)＝3x02＋1，课堂互动讲练∴x03＋x0－16x0＝3x02＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．课堂互动讲练(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴斜率k＝4，∴设切点为(x0，y0)，10分则f′(x0)＝3x02＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1y0＝－14或x0＝－1y0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.12分【误区警示】解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅(本题满分10分)已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数f(x)的解析式．解：由M(－1，f(－1))在x＋2y＋5＝0上得－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2.课堂互动讲练也即－a－61＋b＝－2.①4分f′(x)＝a(x2＋b)－2x(ax－6)(x2＋b)2，由f′(－1)＝－12得课堂互动讲练a(1＋b)＋2(－a－6)(1＋b)2＝－12.②8分由①②得a＝2，b＝3(b＝－1舍去)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－6x2＋3.10分1．曲线的切线的求法若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：规律方法总结第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．规律方法总结2．函数在点x0处的导数，导函数、导数的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．规律方法总结(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.3．复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；规律方法总结(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入