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1.1.4直观图画法学习目标重点难点1.知道斜二测画法的概念,并学会斜二测画法的步骤.2.会画一些简单的平面图形和立体几何图形的直观图.3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状间的相互转化.重点:掌握斜二测画法的步骤.难点:会画平面图形与立体图形的直观图.1.直观图:用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.在中心投影(透视)中,水平线(或铅直线)仍保持水平(或竖直).但斜的平行线则会相交,交点称为消点.中心投影作图方法较复杂,又不易度量,因此在立体几何中常采用斜投影来画空间图形的直观图.交流1三视图与直观图之间有着怎样的联系与区别?答案：(1)区别:直观图直观性较强,三视图虽然能更精确地表示出线段的长短和位置关系,但是缺乏立体感.(2)联系:三视图能够帮助人们从不同角度认识几何体的结构特征,直观图是对空间几何体的整体刻画.我们可以根据直观图的结构来想像实物的形象,同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图,也能够由它的直观图得到它的三视图.2.斜二测画法规则:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴,它们相交于O',并使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°,x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.交流2水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗?答案：不一定.因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,角与长度一般要发生变化,故水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形.交流3以下几种说法:①用斜二测画法画水平放置的圆,得到的图形形状是圆;②相等的角在直观图中仍是相等的角;③在斜二测画法中与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中可能不变;④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点;⑤在平面图形中平行且相等的两条线段在直观图中仍然是平行且相等的线段;⑥作直观图时,由于选轴不同,所画直观图可能不同.其中正确说法的序号是.答案：④⑤⑥典例导学一二三即时检测典例导学一二三即时检测(3)连结A'B',C'D',D'E',F'A',所得的六边形A'B'C'D'E'F'就是正六边形ABCDEF的直观图.典例导学一二三即时检测1.用斜二测画法画梯形的直观图时,所得图形是.解析：因为平行性不变,所以梯形的直观图仍为梯形.答案：梯形典例导学一二三即时检测2.画出下面正五边形和直角梯形的直观图(只画图不写作法,保留作图痕迹).解：(1)作出直观图如图①所示.(2)作出直观图如图②所示.图①图②典例导学一二三即时检测画平面图形的直观图的关键点画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或与轴平行的线段上;另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上来确定.典例导学即时检测一二三二、画空间几何体的直观图用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).(导学号51800016)思路分析：画轴→画底面→画顶点→成图解：(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图1所示,在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN为y轴,两轴相交于O.图1典例导学即时检测一二三图2(2)画相应的x'轴、y'轴和z'轴,三轴相交于O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在图2(1)中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN;以N'点为中点画B'C'平行于x'轴,且等于BC;再以M'为中点画E'F'平行于x'轴,且等于EF;连结A'B',C'D',D'E',F'A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.12典例导学即时检测一二三(3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO.(4)成图.连结P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图2(2)所示.典例导学即时检测一二三1.在空间直角坐标系中,∠x'O'y'=,∠x'O'z'=.答案：45°(或135°)90°典例导学即时检测一二三2.已知三棱锥P-ABC中PA与底面ABC垂直,四个面都是直角三角形,且∠PAC=∠PAB=∠PBC=∠ABC=90°,PA=1,AC=2,AB=BC=,试画此三棱锥的直观图.(导学号51800017)解：(1)画底面.(根据平面图形的直观图的画法)(如图1)图12典例导学即时检测一二三(2)画z'轴(z'轴与x'轴的交角为90°),并画高(即PA与原长相等),连线成图.(如图2)(3)擦去辅助线,被遮线画成虚线.(如图3)图2图3典例导学即时检测一二三空间几何体的直观图的画法法则:(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较快、较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图,比画平面图形的直观图增加了一个z'轴,表示竖直方向.(3)z'轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致.典例导学即时检测一二三三、直观图的计算问题如图所示,三角形ABC中,AC=10,边AC上的高BD=10,求其水平放置的直观图的面积.思路分析：本题中给出了平面图形及其边和高的长,求其直观图的面积.首先应画出该平面图形的直观图,然后求直观图的底和高,进而求面积.典例导学即时检测一二三解：画x'轴、y'轴,两轴交于点O',使∠x'O'y'=45°,作三角形ABC的直观图如图所示,则其底边A'C'=AC=10,B'D'=12BD=5,故三角形A'B'C'的高为22B'D'=522,所以三角形A'B'C'的面积为12×10×522=2522.故直观图的面积为2522.典例导学即时检测一二三1.以正方形一组邻边为x轴、y轴的正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4.则此正方形的面积是.解析：若长为4的边在x'轴上,则正方形边长为4,面积为16;若长为4的边在y'轴上,则正方形的边长为8,面积为64.答案：16或64典例导学即时检测一二三2.一个平面多边形用斜二测画法所得直观图的面积是S,则这个多边形的面积是.解析：以边长为a的正三角形ABC为例,三角形的直观图中底边a长度不变,高h变为原来的12,但直观图中三角形的高为12hsin45°=24h,则S=12a·24h,其中12ah为原三角形面积,即12ah=22S,由此可得原多边形面积是直观图面积的22倍.答案：22S直观图的计算问题的解决方法:依据几何图形与其对应直观图的关系,求直观图或几何图形的面积、周长、高等类型的题目,其解决方法是根据“横不变,纵折半,平移位置不变”来寻求其数量关系,进而求解相关数据.典例导学12345即时检测1.利用斜二测画法画直观图时,①三角形的直观图还是三角形;②平行四边形的直观图还是平行四边形;③正方形的直观图还是正方形;④菱形的直观图还是菱形.其中正确的说法是()A.①②B.①③C.②③D.③④解析：正方形的直观图是有一个角为45°的平行四边形,而菱形的直观图的对角线不垂直,故不再是菱形,所以③④不正确.答案：A典例导学即时检测123452.在斜二测画法中,直观图保留了原图的一些主要性质,下面性质中不被保留的是()A.平行线段仍然平行B.线段长度的大小关系C.共点的线仍然共点D.平行线段的长度比解析：线段的长度会变化,与x轴、z轴平行的长度不变,与y轴平行的长度减半,故选项B中所述的性质不被保留.答案：B典例导学即时检测123453.(2016四川德阳高二期中)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面积为,则原梯形的面积为()(导学号51800018)2A.2B.2C.22D.4典例导学即时检测12345解析：如图,由斜二测画法规则可知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高:平面图形中的高OA是直观图中O'A'的2倍.直观图中,O'A'是梯形高的2倍,由此平面图形中梯形的高OA是直观图中梯形高的22倍,其面积是梯形O'A'B'C'的面积22倍,而梯形O'A'B'C'的面积为2,所以原梯形的面积是4.故选D.答案：D典例导学即时检测123454.水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为.解析：由题意知原图形为直角三角形,且AC=3,BC=4,则AB=5.故AB边上的中线长为𝐴𝐵2=52.答案：52典例导学即时检测123455.画出一个锐角是45°的平行四边形的直观图.(导学号51800019)解：如图(1),四边形ABCD是以∠A为45°的平行四边形,以AB所在的直线为x轴,过点D且与AB垂直的直线为y轴建立直角坐标系.画出对应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图(2),在x'轴上截取O'A'=OA,O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,经过点D'作D'C'∥x'轴且使D'C'=DC.连结A'D',B'C',所得四边形A'B'C'D'即是所给平面图形的直观图,如图(3).12