正方形形的性质和判定(2)

北师大版九年级(上)1.3正方形的性质与判定(2)问题情景根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？ABCD一组邻边相等一个角是直角ABCD新知探究Ⅰ、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？？合作交流ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？(1)一组邻边相等一组邻边相等(2)对角线互相垂直对角线互相垂直新知探究Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：如图，矩形ABCD中，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°且AC⊥BD∴AB=ADDABCO且OB=OD∴四边形ABCD是正方形新知归纳正方形的判定：(1)对角线互相垂直的矩形是正方形；合作交流ⅱ、满足什么条件的菱形是正方形？(1)有一个角是直角有一个角是直角(2)对角线相等对角线互相垂直新知探究Ⅲ、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。已知：如图，菱形ABCD中，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形∴四边形ABCD是平行四边形，AD=AB且∠A=90°∴四边形ABCD是正方形DABC新知探究Ⅳ、求证：对角线相等的菱形是正方形。DABCO已知：如图，菱形ABCD中，AC=BD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形∴四边形ABCD是平行四边形，AB=AD且AC=BD∴∠DAB=90°∴四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是正方形新知归纳正方形的判定：(1)对角线互相垂直的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形。合作交流ⅲ、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形。那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。合作交流ⅳ、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？菱形矩形平行四边形矩形菱形平行四边形例1、已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.范例讲解证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∴∠ABC=90°,∠DCB=90°DABCEF∵四边形ABCD是矩形又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°2121∴∠EBC=∠ECB∴EB=EC∴四边形BECF是菱形在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴四边形BECF是正方形巩固练习1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形那个AECF是菱形.DABCFE巩固练习2、如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH，四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？DABCEFGH巩固练习3、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A`B`C`O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A`B`C`O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？证明你的结论.DABCOA`B`C`课堂小结正方形的判定：(1)对角线互相垂直的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形。