数列章末归纳总结

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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修5第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5数列第一章第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识整合2知识结构1专题研究3第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识结构第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识整合第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5一、数列的概念与函数特征1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列,数列还可以看作一个定义域为N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数的一列函数值.2.通项公式:如果数列{an}的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.an与Sn之间的关系:如果Sn是数列{an}的前n项和,则Sn=a1+a2+…+an.数列{an}的前n项和Sn与an之间的关系是an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修54.数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类:项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性,可以分为以下几类:①一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1an,那么这个数列叫作递增数列.②一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即an+1an,那么这个数列叫作递减数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5③一个数列{an},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作摆动数列.④一个数列{an},如果它的每一项都相等,那么这个数列叫作常数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修55.根据数列的通项公式判定数列的单调性(1)已知an=f(n),若f(x)的单调性可以确定,则{an}的单调性可以确定.(2)比较法①作差比较法n∈N+,an+1-an0⇒{an}为递增数列;n∈N+,an+1-an=0⇒{an}为常数列;n∈N+,an+1-an0⇒{an}为递减数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5②对各项同号的数列,可用作商比较法.n∈N+,an0(0),an+1an1(1)⇔{an}为递增数列;n∈N+,an0(0),an+1an=1⇔{an}为常数列;n∈N+,an0(0),an+1an1(1)⇔{an}为递减数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5二、等差数列1.定义:若一个数列从第二项起,每一项与其前一项的差等于同一个常数,则这个数列就叫等差数列,其中的常数叫等差数列的公差,它常用字母d表示.即定义的表达式为an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+).2.通项公式:若数列{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)D.3.前n项和公式:若数列{an}为等差数列,则前n项和Sn=na1+an2=na1+nn-12D.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修54.等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A=a+b2.5.等差数列的性质:(1)已知等差数列{an}的公差为d,且第m项为am,第n项为an,则an=am+(n-m)d;(2)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,(m、n、p、q∈N+)则am+an=ap+aq;(3)若数列{an}满足Sn=an2+bn,则{an}为等差数列,且a1=a+b,d=2a;第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5(4)若数列{an}满足Sn=an2+bn+c(c≠0),则{an}从第2项起成等差数列;(5)等差数列和的最大值、最小值.1°在等差数列{an}中,a10,d0,则Sn有最大值;若a10,d0,则Sn有最小值.2°求Sn的最值的方法:①因为Sn=d2n2+a1-d2n,所以可转化为二次函数求最值,但应注意n∈N+;②利用an≥0,an+10,则Sn为最大值;an≤0,an+10,则Sn为最小值.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5三、等比数列1.定义:若一个数列从第二项起,每一项与其前一项的比等于同一个常数,则此数列叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比,用字母q表示.2.等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且G=±ab.3.通项公式:等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1.4.前n项和公式:若等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修55.等比数列的重要性质:(1)在等比数列{an}中,若k+l=m+n,(k、l、m、n∈N+)则ak·al=am·an.(2)数列{an}为等比数列,则an=a1qn-1=a1q·qn.①q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列;②q1,a10或0q1,a10时,{an}是递减数列;③q=1时,{an}是常数列;④q0时,{an}是摆动数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修56.等差、等比数列的判定方法的区别.判定方法:(1)定义法:an+1-an=d(d为常数)⇔{an}为等差数列;an+1an=q(q为非零常数)⇔{an}为等比数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列.a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N+)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列;an=cqn(c、q均是不为0的常数,n∈N+)⇔{an}为等比数列;Sn=kqn-k(k为常数,且q≠0,1)⇒{an}为等比数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5专题研究第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.根据数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下:数列通项公式的求法第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修51.知Sn求an[例1](1)已知数列{an}的前n项和Sn=(-1)n+1n,求an;(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an.[分析]利用an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2,求数列{an}的通项公式.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[解析](1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n(1-2n),当n=1时,a1=S1=(-1)2×1=1,适合上式.∴an=(-1)n(1-2n).(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=3+21=5,不满足上式.∴an=5n=12n-1n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[方法总结]已知Sn求an,即已知数列的前n项和公式,求数列的通项公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常忽略了条件n≥2而导致错误,因此必须验证n=1时是否成立,若不成立,则通项公式只能用分段函数an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2来表示.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1,求通项an.[解析]当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3n+1-(n-1)2-3(n-1)-1=2n+2,又n=1时,a1=S1=5不满足上式.∴an=5n=12n+1n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修52.累加法[例2](2014·全国大纲文,17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.[解析](1)由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2.即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5(2)由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[方法总结]已知a1=a,an+1-an=f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项an.①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5已知{an}中,a1=1,且an+1-an=3n(n∈N+),求通项an.[解析]∵an+1-an=3n(n∈N+),∴a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,……an-an-1=3n-1(n≥2),第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5以上各式相加得an-a1=3+32+33+…+3n-1=31-3n-11-3=3n2-32,∴an=a1+3n2-32=3n2-12(n≥2).又a1=1满足上式,∴an=3n2-12(n∈N+).第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修53.累乘法[例3]已知数列{an}中,a1=12,Sn=n2an,其中Sn是数列{an}的前n项和,求an.[分析]利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化后求解.[解析]由Sn=n2an,得Sn-1=(n-1)2an-1,两式相减,得an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1(n≥2),∴anan-1=n-1n+1(n≥2).第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5∴an=(anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a2a1)·a1=(n-1n+1·n-2n·n-3n-1·…·24·13)·12=2×1n+1×n×12=1nn+1(n≥2).又∵当n=1时,a1=12也符合上式,∴an=1nn+1.第一章章末归纳总结成才之路

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