高中数学：数列的概念与表示

高考资讯•数列是高中数学的重要内容，在历年的高考题中占有较大比重，数列与函数、方程、不等式、几何等知识的联系十分密切．数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式中的各种方法与技巧，在中学数学中都有十分重要地位，涉及数列的应用问题及探索性问题都可成为命题的方向．这一部分主要考查学生的运算能力、逻辑思维能力及分析解决问题能力．•主要命题热点：•1．an与Sn的关系•2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、求和公式．•3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．•4．数列与函数、方程、不等式、三角、解几综合问题．•5．数列应用题．•6．探索性问题．•1．数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决．如通项公式、前n项和公式等．•2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．•3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q＝1和q≠1两种情况等等．•4．等价转化在数列中的应用．如an与Sn的转化，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习时要及时总结归纳．•5．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．•6．解题要善于总结基本数学方法．如类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数列结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．考纲要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．热点提示1.从近几年的高考试题来看，数列的概念、递推公式、通项公式及前n项和公式成为高考热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现．2．本节知识的考查往往和其他知识相联系，若与函数、不等式等相结合，也有可能出现难度较大的试题.2011年仍会考查.•1．数列的定义•数列是的一列数，从函数观点看，数列是定义域为的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的．按一定次序排成正整数集(或它的有限子集)一列函数值•数列是否可以看作一个函数，若是，则其定义域是什么？•提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，可表示为an＝f(n).•2．数列的通项公式•一个数列{an}的第n项an与之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫做这个数列的通项公式．项数an＝f(n)an＝f(n)•3．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数.无穷数列项数.按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an有限无限•4.数列的表示方法•数列的表示方法有．列举法、公式法、图表法1．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是()A．an＝(－1)nn2＋n2n＋1B．an＝(－1)n·nn＋32n＋1C．an＝(－1)n·n＋12－12n＋1D．an＝(－1)n·nn＋22n＋3解析：∵a1＝－33＝－1＋12－12×1＋1，a2＝85＝2＋12－12×2＋1，a3＝－3＋12－12×3＋1，a4＝249＝4＋12－12×4＋1，∴an＝(－1)nn＋12－12n＋1.答案：C2．数列{－2n2＋29n＋3}中最大项是()A．107B．108C．10813D．109答案：B•3．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.•解析：由an＋1－an＝n＋1，可得•当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.•以上n－1个式子左右两边分别相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n＋2n－12，∴an＝nn＋12＋1.又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝nn＋12＋1.•4．数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2009＝________.•解析：a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝4－5＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5，a6＝a5－a4＝－5－(－1)＝－4，a7＝a6－a5＝－4－(－5)＝1，a8＝a7－a6＝1－(－4)＝5.•∴数列{an}为周期数列，6为一个周期．•∴a2009＝a5＝－5.•答案：－5•5．数列{an}的前n项和Sn＝1＋2an，求其通项公式an.•解法一：∵Sn＝1＋2an，①•∴Sn＋1＝1＋2an＋1.②•由②－①得Sn＋1－Sn＝2(an＋1－an)，•即an＋1＝2an＋1－2an(n≥1)，•∴an＋1＝2an(n≥1)，∴an＝a1·2n－1(n≥1)．•而S1＝a1＝1＋2a1，∴a1＝－1，∴an＝－2n－1(n≥2)．•又当n＝1时适合上式，∴an＝－2n－1.•解法二：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，•由Sn＝1＋2an得Sn＝1＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，•∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2)．•∴{Sn－1}成等比数列，•Sn－1＝(S1－1)·2n－1＝－2·2n－1，•∴Sn＝－2n＋1(n∈Z*)，即1＋2an＝－2n＋1.•∴an＝－2n－1.【例1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)12，－2，92，－8，252….•思路分析：(1)分子是正偶数数列，分母是分子的平方减去1；(2)将分母统一化为2，分子是正整数的平方，并且各项是正负相间的．解：(1)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴an＝2n2n2－1＝2n4n2－1.(2)原数列为12，－42，92，－162，252，…，∴an＝－1n＋1·n22.•(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；•(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明.变式迁移1写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…；(2)－1，32，－13，34，－15，36.解：(1)∵a1＝1＋12，a2＝2＋23，a3＝3＋34，…，∴an＝n＋nn＋1.(2)∵a1＝－2－11，a2＝2＋12，a3＝－2－13a4＝2＋14，…，∴an＝(－1)n·2＋－1nn.【例2】求下列数列{an}的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)；(3)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．思路分析：由an＋1－an＝2n－1可用叠加法求通项；由anan－1＝nn－1可用叠乘法求通项，由an＝2an－1＋1可构造等比数列求通项．•解：(1)由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1，•当n≥2时，a2－a1＝2×1－1，•a3－a2＝2×2－1，•a4－a3＝2×3－1，•…•an－an－1＝2×(n－1)－1.•将n－1个式子左右两边分别相加，得•an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＝2ו－n＋1＝n2－2n＋1，•∴an＝n2－2n＋1＋a1＝n2－2n＋1.•又n＝1时，a1＝0适合上式，•∴an＝n2－2n＋1(n∈N*)．(2)由an＝nn－1an－1(n≥2)，得anan－1＝nn－1，当n≥2时，a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1，将n－1个式子两边分别相乘，得ana1＝21·32·43·…·nn－1＝n，∴an＝n·a1＝n.又n＝1时，a1＝1适合上式，∴an＝n(n∈N*)．(3)由an＝2an－1＋1(n≥2)，可得an＋1＝2(an－1＋1)，∴an＋1an－1＋1＝2.∴数列{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为a1＋1＝2.∴an＋1＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．∴an＝2n－1.(n∈N*)••(1)递推公式形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的数列求通项常用叠加法；递推公式形如an＋1＝f(n)·an(n∈N*)的数列求通项常用叠乘法，用这两种方法求通项时，需分为n≥2及n＝1两个步骤．•(2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为非零的常数，且p≠1)的递推公式求通项常用构造法，基本思路是：设an＋1＋α＝p(an＋α)，其中α＝，构造一个等比数列，利用等比数列的通项公式求通项.变式迁移2(1)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝an＋14n2－1，则an＝________.(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求an.(1)解析：由an＋1＝an＋14n2－1，得an＋1－an＝12(12n－1－12n＋1)，由叠加法，得an＝4n－34n－2.(2)解：由an＋1＝2anan＋2，得1an＋1＝1an＋12，∴1an＋1－1an＝12，∴数列{1an}为等差数列，公差为12，首项1a1＝1.∴1an＝1＋(n－1)×12＝n＋12.∴an＝2n＋1.【例3】若数列{an}的通项公式为an＝5·(25)2n－2－4·(25)n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()A．3B．4C．5D．6解析：由于an＝5·(25)2n－2－4·(25)n－1＝5·[(25)n－1]2－4·(25)n－1，设(25)n－1＝t，由于n≥1，所以n－1≥0，于是0t≤1.这时an＝f(t)＝5t2－4t＝5(t－25)2－45，故当t＝25时，an取得最小值－45，此时n＝2；当t＝1时，an取得最大值1，此时n＝1，所以x＝1，y＝2，x＋y＝3.故选A.答案：A•由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解．本题正是利用了换元的思想，将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项，即n的值只能取正整数，从而换元后变量t的取值范围也相应地被限制.•变式迁移3(2009·北京卷)已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.•解析：由题设条件，得a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a1007×2＝a1007＝a252×4－1＝0.故填1；0.•答案：10•【例4】(2009·湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图甲图乙•他们研究过上图甲中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图乙中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()•A．289B．1024•C．1225D．1378•思路分析：由于命题只是要求从选项中选出既是三角形数又是正方形数的选项，所以首先应从选项中找到完全平方数，再检验它们是否满足三角形数即可．解：由289＝172,1024＝322,1225＝352知，有三个正方形数．又三角形数的通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.由于17为质数，故不能分解成n(n＋1)的两数之积，故这个数不可能是三角形数，由nn＋12＝352，得n(n＋1)＝2×352＝(2×5×5)×(7×7)＝49×50，此时n＝49，由nn＋12＝322，得n(n＋1)＝2×322＝2×210，由于n，n＋1一个为奇数、一个为偶数，故2×210不可能分解为一个奇数一个偶数的乘积，此时无解．于是，1225既是三角形数又是正方形数．故选C.•本题源于数学史料，其背景是古希腊毕达哥拉