数学分析中的反例研究

数学分析中的反例研究摘要：首先提出在数学分析中反例研究的价值及意义，然后举例说明反例在数学分析中的四个重要作用，再结合数学分析教材中部分重要定理引出构造反例的一些常用方法，包括特例、性质、类比以及特殊函数构造法四种构造反例的常用方法，并应用上述方法对数学分析中部分章节的反例进行分类，总结。关键词：数学分析；反例；构造1研究数学分析中反例的价值及意义数学分析是近代数学与现代科学的基础，其中许多重要的概念和命题都是用抽象的数学语言给予形式化的描述，学生尤其初学者难以凭直观去思考、理解其含义。而反例是对命题十分简洁的否定，又是对命题极有说服力的肯定，它往往能起到正面例子难以起到的作用。所以，在数学分析的学习中注重应用反例，能够加强学生对基本概念、定理的理解和掌握，能够打破习惯的思维定势，发展联想，培养学生独立思考的能力和创新能力，扩大知识面.2反例在数学分析中的重要作用用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的方法叫做反例法。在数学分析中存在大量的反例，它们能帮助人们深入地理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成等潜在的深刻涵义。数学教育理论认为：概念或规矩的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。因此，反例思想是数学分析中一种十分重要的思想，在概念、性质的理解，问题的研究和论证中都具有不可替代的独特作用。下面将分别说明反例的重要作用。2.1反例能帮助我们正确理解概念，分清定理中条件的充分性和必要性问题1在数列极限一章中讨论数列的敛散性、数列的极限及数列是否有界三者的关系，这一问题的答案可以用如下方式简洁地表示出来：设na为一数列，a为一定数，则有界收敛于nnnnaaaaa21lim对于1（充要条件），我们可根据数列收敛定义得出，定义内容如下：定义1]3[设na为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当Nn时有aan，则称数列na收敛于a，定数a称为数列na的极限，并记作naaaannn或,lim。对于2（必要条件），可以举出以下反例来说明充分性不成立。例1数列n1分析取MaZnMn,,2即n1有界。下证该数列不收敛，取此数列的两个子列，偶数列：11lim1lim,2,122kknnnZkkn显然，，奇数列：11lim1lim,12,11212kknnnZkkn显然，，由于两个子列的极限不相等，从而n1的极限不存在，即不收敛。问题2一元函数的可微与可导是等价的，但是，若二元函数yxf,在其定义域D的内点00,yx可微，则函数yxf,在该点的两个偏导数存在，但二元函数存在两个偏导数，却不一定可微。例2]7[函数0,00,,222222yxyxyxxyyxf分析yxf,在原点0,0的两个偏导数xfxffxx0,00,lim0,0000,0,000lim0yxfx同理。若函数f在原点可微，则dzzyxf0,0220,00,00,0yxyxyfxffyx，应是较22yx的高阶无穷小量。为此，考察极限2200limlimyxyxdzz，此极限当动点yx,沿着直线mxy而趋于定点0,0时，由于此时21,,mmmxxfyxf，因而有200,0,1,lim,limmmmxxfyxfxmxyyx，这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在，即函数yxf,在点0,0不可微。问题3]3[关于罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间ba,上连续；(ii)f在开区间ba,上可导；(iii)bfaf,则在ba,内至少存在一点0,'f使得。为了深刻理解此定理，可举出反例来说明该定理中三个条件与结论之间的关系。例3（f不满足(i)的情形），bxabaxxxf,,,，函数如图（1）所示：例4（f不满足(ii)的情形），1,1,xxxf,函数如图（2）所示：例5（f不满足(iii)的情形），baxxxf,,，函数如图（3）所示：由图可知，在不满足三个条件中任一个时，结论不一定成立。另外，定理中三个条件不同时满足时，结论仍可能成立。例61,11,1,12xxxxf分析：由已知，xf只满足条件（ii），而结论成立。。，使得，－，＝，因此，不存在，而。处不连续，从而不可导在，所以因为011011,1,2110lim''1fxxxxfxxffxfx综上，罗尔中值定理中三个条件是使成立的0'f存在的充分条件，而非必要条件]9[。2.2反例能帮助我们明确定理，法则，公式中条件的严密性问题4]1[设uf在区间I上一致连续，xgn在点集D上一致收敛于xgfDxgfIxgDxxgn上一致收敛于在则时，当,,。若Iuf在上一致连续减弱为在I上连续，则结论是否成立？显然，若Iuf在上一致连续减弱为在I上连续，结论不成立。可举出如下反例。例7]1[nxxgn1ln分析因为xnxxgnnnln1lnlimlim，设xxgln，xgxgnxn,0suplim01limln1lnsuplim,0nxnxnxn，所以xgn在,0内一致收敛于xln，2u在,内连续，但不一致连续，导致,01ln2在nxxgfn内不一致收敛。事实上，它在,0上收敛于xg2，但0,0xNn和欲使当时，恒有nxnx1ln1ln＝成立，只需取1N即可。但,,20N对都存在2ln21ln1ln,0,200002200200nxnxnxexNNnN使成立，所以xgfn在,0上不一致收敛。问题5级数的项之间是否满足交换律？回答是否定的，对此，可举出如下反例：例8收敛级数nnn1111分析：设其和为S，则nSn115141312111，将其次序作如下交换，按级数中原有的正项与负项的顺序一项正两项负交替写出，即1211015181613141211，假设它收敛，则S216151413121121121101816141211211015181613141211显然交换后的级数即使收敛，它的和与原级数的和也未必相等。2.3反例是推翻假命题的重要手段命题6]1[若级数1nna收敛，则12nna也收敛.例91111nnnnna分析由已知，数列na单调递减，且0limnna。由莱布尼茨判别法可知，此交错级数收敛，而1121nnnna发散.2.4反例有助于培养我们的创新能力由于要举出不同层次数学对象的反例需要有一定的，甚至很高的数学修养。寻求反例的过程既需要数学知识与经验的积累，也要发挥诸如观察与比较、联想与猜测、逻辑与直觉、逆推、反设、反证以及归纳、计算、构造等一系列辩证互补的思想方法和技巧方法。在反例的构造过程中，我们可以加深对知识的理解，拓展了知识的应用方向，从另一个角度维护了正例的思维，并在不断反驳与肯定中使我们达到了自我思维的肯定和知识体系的完善。还有，在这一过程中，我们的创造性得到了最大限度的发挥。因此，在学习数学分析课程中，长期坚持训练自身构造反例，就能很好地锻炼我们的创造思维能力，有助于培养我们的创新能力。3构造反例的常用方法构造反例的过程就是一个研究命题的过程,是建立在命题所涉及到的概念、理论有透彻理解的基础上。所以,在应用构造性思维时,不仅需要有扎实的基础知识和具有创造性的思维品质,还要有明确的目的,即知道需要构造什么;更重要的是弄清题设条件、结论的特点,以便根据需要来设计构造方案.如下四种为常用的构造方法：3.1特例构造法特例构造法就是利用一些典型的反例来与命题的特点巧妙地契合，得出针对该命题的反例。例10函数xf在点0x连续，不一定有xf在点0x的某个邻域内连续。分析为无理数，为有理数xxxxf0,,它在点0x处连续，但对于任意0x且xR，函数xf在点x处均不连续。例11函数xf在点0x可导，不一定有xf在点0x的某个邻域内每一点都可导。分析为无理数，为有理数xxxxf0,2，它仅在点0x可导。例12任何可积函数都有界，但反之不真。分析为无理数，为有理数xxxD0,1，此函数在01，上有界，但并不可积。3.2性质构造法性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征,用一定的技巧构造反例的方法。例13若CdxxfCdxxfAAA是否一定有,lim？分析设不收敛但而xdxdxxxxfAAAsin,0sinlim,sin。3.3类比构造法类比的关键就是仔细观察命题及反例，寻找异同，继而找到构造反例的突破点。我们可以从两方面进行类比:(1)将欲证命题与已学概念、定理或已有结论等类比例如对错误命题：若函数xf在区间ba,内连续，则xf在ba,内有界。将命题与定理比较，发现命题中xf的连续区间为开区间ba,，不包含区间的两个端点。因此，就不能保证xf在ba,内有界。构造反例时可考虑xfbxax时，使或。从而，设xxf1，在1,0内连续，但在1,0无界。例如对错误命题：设dxxfa收敛，函数,axg在上有界，则积分dxxgxfa收敛。将命题与定理比较，发现命题中只要求函数,axg在上有界，而,axg在并不一定单调。因此，就不能保证dxxgxfa收敛。从而构造如下反例：设,0,sin,sinxxxgxxxf。因为对任意xxdxxxxxxdxAAsinsin012sin,111收敛，而，故单调趋于时及当由于在0x有可去间断点，故补充定义其值为1后，1,0sin可视为xx上的连续函数，故dxxxxxgdxxx020sinsin,sin有界，但收敛却是发散的。（2）根据已知反例的特点及思维方法，在新的命题条件下构造出类似的反例例如若dxxfdxxfaa收敛，则也收敛，但反之不真。设xxxfsin，易知dxxx1sin是收敛的，但1sindxxx发散。事实上，对于这一类反常积分dxxxp1sin:]3[（i）,1,1sinsin11xxxxdxxxpppp绝对收敛。因为时当而11pxdxp当时收敛，故由比较法则推知1sindxxx收敛。(ii)时当10p,sin1dxxxp条件收敛，这是因为对于任意1u，有xpxuxdxpu001,2cos1cossin1时单调趋于当而，故由狄利克雷判别法推知,