高观点下的部分中学数学问题--林妙红

作业标题：期末考核题目作业要求：就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。高观点下的部分中学数学问题155370林妙红摘要:随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。中学数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。关键词：高等数学；初等数学；函数的拐点问题；函数的凸凹性；分解因式；数列；不等式一、引言随着高中课程的深入改革，大学高等数学的内容被引入了很多，如选修部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。比如导数部分内容就丰富了很多。1、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．解析：（II）思路一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx点评本题中“l在点A处穿过函数()yfx的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数3xy。在0x处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，0x使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知1x是0)('xg重根。2、函数的凸凹性例2.)1ln()1()(xxxf若对所有的x都有axxf)(成立，则实数a的取值范围是_____.解析：错误!未找到引用源。,设.)1ln()1()()(axxxaxxfxF则axxF1)1ln()(',由,0)('xF得1aex。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即错误!未找到引用源。另解：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+∞)上恒在y=f(x)图像下方，所以a≤1.点评：本题注意)(xf的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似3xy还是类似xyln即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。二、用高等数学思想思想剖析初等数学问题更直观更明了初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型。高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的。高等数学与初等数学之间有着必然的联系，许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决。2.1因式分解问题因式分解是一种重要的恒等变形，它的方法很多，技巧性很强，不易掌握，如用高观点来解决这类问题则可达到化难为易的效果。例1把271081446423xxx分解因式。用初等数学方法，需要对上式拆项。即：32222323)34()92416)(34()34(9)34(24)34(162736729648642710814464xxxxxxxxxxxxxxxxx显然上式分解有一定难度，介利用微分法有助于找重因式;先对x求导得22)34(12108288192xxx，因此可知原式必有三重因式即：323)34(2710814464xxxx。除了利用微分法可以帮助分解因式，还可以利用行列式的方法。引理1（一元多项式）设nnnnaxaxaxaxp1110)(是数域F上的一元多项式则)(xp=10221100000100001axaaaaaxxxnnn证明（参见文献[2]）。引理2利用三阶行列式的平行线法，可很快算出循环行列式的值；设A=acbbaccba，则abccbaA3333证明（参见文献[1]）。例2分解多项式2411815245234xxxx。用初等数学方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法会较易求得。解：由引理1可得，原式=0152451182410001000124515118241000100012xxxxxxxxx=5245224150)15(5151524511824100022xxxxxxxxxxx=552241051)15(522410515)15(2xxxxxxxxxxx=)4)(3)(2)(15(52241)15(2xxxxxxxx（行列式的计算原理参见文献[3]）例3因式分解abccba3333。解：由引理2知acbbaccbaabccba3333,则))((111)(3222333bcacabcbacbaacbbaccbaacbbaccbacbacbaacbbaccbaabccba由上两例可知,利用行列式也可使某些因式分解问题简化。2.2数列问题引理3如果行列式中有两两行(列)的对应元素成比例,则此行列式等于零.证明(参见文献[1])由引理3，可知若不相等的三数321,,xxx成等差数列，且,0111332211yxyxyx则,,,321yyy也成等差数列。推论1，设knmaaa,,分别是一等差数列的第m项，第n项，第k项的充要条件是0111knmakanam。证：充分性，由0111knmakanam，知),(),,(),,(knmakanam三点共线，不妨设该直线的方程为了baxy，得knmaaa,,三数所在数列的通项公式为banan，可知knmaaa,,是以banan为通项的等差数列的第m项，第n项，第k项。必要性，已知knmaaa,,，分别是一等差数列的第m项，第n项，第k项，设它们所在的数列首项为1a，公差为d，所以，0)()(0)1(0)(0)(1)1(1)1(1)1(1111111dknkndkmkmdkakdknkndkmkmdkakdnandmamakanamknm例4已知等差数列nxxxlg,lg,lg21的第r项为s，第s项为r（0＜r＜s），求nxxx21。解：设等差数列的第n项为na，由推论1得0111nanrssr得022sranrnssarnn∴nrsan∴nrsxnlg即nrsnrsnx101010∴)110(1091)101101101(10221nrsnrsnxxx推论2，若knmaaa,,分别为一公差d≠0的等差数列的第m项，第n项，第k项，则''',,knmaaa分别是另一等差数列的第m项，第n项，第k项的充要条件是0111'''kknnmmaaaaaa证明（参见文献[2]）。例5:已知某一三角形三边cba,,成等差数列，三边长倒数cba1,1,1，也成等差数列，问此三角形的形状。解，cba,,成等差数列，cba1,1,1也成等差数列∴0111111ccbbaa从而0))()((cbabcbaca得ba或cb或ca，又因为cba,,成等差数列故cba，所以此三角形为等边三角形。2.3不等式的的问题利用中值定理解中学数学中的不等式例7证明:当0ba时,不等式)()(11banababanbnnnn在1n时成立。分析:设nxxf)(则1)('nnxxf当0ba时,对)(xf在区间ab,上应用拉格朗日中值定理,有)(,)(')()(1abnfbabababfafnnn,当1n时,01n故11)(nnnnnababanb从而得证。此例若考虑中学解法,需将nnba展开,经过讨论,再适当放大和缩小后得出结果。例8证明:当0x时,xx)1ln(。此题可用中值定理证,也可用)1ln()(xxxF的单调性来证.证明:设xxfln)(则)(xf在]1,1[x上连续,在)1,1(x上可导,由拉格朗日定理知在)1,1(x内至少存在一点,使得xffxf)()1()1(,即xxx1)1ln(从例7,8可以看出,利用中值定理来证明不等式,较初等解法要相对简单,同时可以得到一些常用的公式。三、总结高等数学与初等数学的区别在于研究对象和方法上的不同：初等数学研究的是规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量，亦称常量数学，思想方法上片面、孤立、静止地考虑问题；高等数学在初等数学的基础上研究的是不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化过程的变量，思想方法上是在变化运动中考虑问题，也就是极限的方法。高等数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法不同。人们要随着这种不同转变学习时的思想方法，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应高等数学的学习，迅速入门，学好高等数学。参考文献[1]乐茂华，高等代数[M].南京:南京大学出版社,2002.53-81.[2]钱钉，初等数学中几个有用的行列式[J]．景德镇高专学报，1994,4:25-35.[3]陈志杰等，高等代数与解析几何习题精解[M]北京；科学出版社，2002.