定积分的应用之微元法

一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积四、平面曲线的弧长定积分的应用用定积分计算的量的特点：(1)所求量（设为F）与一个给定区间ba,有关，且在该区间上具有可加性.就是说，F是确定于ba,上的整体量，当把ba,分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即niiFF1.(2)所求量F在区间ba,上的分布是不均匀的，也就是说，F的值与区间ba,的长不成正比.（否则的话，F使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.一、定积分应用的微元法用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量F分为部分量之和，即:niiFF1Δ;第二步：求出每个部分量的近似值，iFΔ≈);,,2,1(Δ)(nixfii第三步：写出整体量F的近似值，niiFF1Δ≈iniixfΔ)(1；第四步：取0}Δmax{ix时的iniixfΔ)(1极限，则得nibaiixxfxfF10d)(Δ)(lim.而第三、第四两步可以合并成一步：在区间ba,上无限累加，即在ba,上积分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是F能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法.定积分应用的微元法：(一)在区间ba,上任取一个微小区间xxxd,，然后写出在这个小区间上的部分量FΔ的近似值，记为xxfFd)(d(称为F的微元);（二）将微元Fd在ba,上积分（无限累加），即得.d)(baxxfF观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式iixfΔ)(中的变量记号改变一下即可（i换为x；ix换为xd）.微元法中微元的两点说明：(1)xxfd)(作为FΔ的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于xΔ的高阶无穷小.即)Δ(d)(ΔxoxxfF.这样我们就知道了，称作微元的量xxfd)(，实际上是所求量的微分Fd;(2)具体怎样求微元呢?这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部xxxd,上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元xxfFd)(d.1.直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（2）由上、下两条曲线))()()((),(xgxfxgyxfy及bxax,所围成的图形，如下页右图，面积微元,d)]()([dxxgxfA，面积baxxgxfAd)]()([.（1）曲线),0)()((xfxfybxax,及Ox轴所围图形，如下页左图，面积微元xxfAd)(d，面积baxxfAd)(.二、用定积分求平面图形的面积（3）由左右两条曲线)(),(yxyx及dycy,所围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩形Ad，即取y为积分变量）yyyAd)]()([d，面积dcyyyAd)]()([.Oyxxxdxab)(xfyxOyxxdxa)(xfy)(xgyb例1求两条抛物线22,xyxy所围成的图形的面积.解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：Oyxxxdx1(1,1)Oyxycd()xyψ()xydyy解方程组,,22xyxy得交点（0，0）及（1，1）.(2)选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作Ad均可，习惯上取竖条，即取x为积分变量，x变化范围为[0，1]，于是,d)(d2xxxA(3)将A表示成定积分，并计算10103232.313132d)(xxxxxA例2求xy22及4xy所围成图形面积.解作图（如下图）求出交点坐标为)4,8(),2,2(BA.观察图得知，宜取y为积分变量，y变化范围为[–2，4]（考虑一下，若取x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得,d]21)4[(d2yyyA.1861421d]21)4[(4242322yyyyyyAOyBA4-2yxy+dy2.极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线)(rr及两条射线,所围成的图形（如右下图）.取为积分变量，其变化范围为],[，在微小区间]d,[上“以常代变”，即以小扇形面积Ad作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为,d)(21d2rA将Ad在],[上积分,便得曲边扇形面积为.d)(212rAOx(θ)rrd例4计算双纽线)0(2cos22aar所围成的图形的面积（如下图所示）.解由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限的变化范围为]4π,0[，于是ππ222440014cos2dsin2.2AaaaOayxπ4θ解先求两线交点，以确定的变化范围，解方程组1cos,3cos.rr由cos1cos3得21cos，故3π，考虑到图形的对称性，得所求的面积为Ox233cosθr1cosr3π02π3π22d)cos3(21d)cos1(212A例5求心形线1cosr及圆cos3r所围成的阴影部分面积（如右下图）.3π02π3πd)2cos1(29d)22cos1cos21(2π3π3π02sin21292sin41sin223π.451.平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.三、用定积分求体积为求体积微元，在微小区间]d,[xxx上视)(xA不变，即把]d,[xxx上的立体薄片近似看作)(xA为底，xd为高的柱片，于是得,d)(dxxAV再在x的变化区间],[ba上积分，则得公式.d)(baxxAV不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面面积)(xA是x的已知连续函数，求该物体介于ax和)(babx之间的体积（如右下图）.Oxybxa()Axdxx例6设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.OyxRRa222xyRa解取坐标系如图，则底圆方程为222,xyR在x处垂直于x轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y及tany，即22xR及tan22xR，其面积为tan)(21)(22xRxA，从而得楔形体积为RRRxxRxxRV02222d)(tandtan)(21tan32)3(tan3022RxxRR.2、旋转体体积设旋转体是由连续曲线)(xfy和直线)(,babxax，及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积V.在区间],[ba上点x处垂直x轴的截面面积为在x的变化区间],[ba内积分，得旋转体体积为OyxbaA(x)).(π)(2xfxA.d)(π2baxxfV类似地，由曲线)(yx，直线dycy,及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为.d)(π2dcyyV例7求由星形线222333(0)xyaa绕x轴旋转所成旋转体体积（如上右图）.解由方程323232ayxOyxcd()xyyOxa-a解出2y33232)(xa，于是所求体积为aaaxxaxyV0332322d)(π2dπ.π10532d)33(π2320343232342axxxaxaaa设有曲线)(xfy（假定其导数)(xf连续），我们来计算从ax到bx的一段弧长的长度s（如下页左图）.我们仍用微元法，取x为积分变量，],[bax，在微小区间],[dxxx内，用切线段MT来近似代替小弧段MN（“常代变”）得弧长微元为.d'1)d()d(d222xyyxQTMQMTs22这里xysd'1d2也称为弧微分公式.在x的变化区间],[ba内积分，就得所求弧长.d)('1d'122babaxxfxys四、平面曲线的弧长若曲线由参数方程(),()xtyt)(t给出，这时弧长微元为2222d(d)(d)'()'()d.sxyxxt于是所求弧长为.d)(')('22ttts注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的.因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限.OxayxbAMNBxdsdQydydxyTOxay-a例9两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为)ee(2axaxay)0(a求从ax到ax这一段的弧长（如上页右图）解由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将sd部分充分化简，然后再求积分.这里，)ee(21axaxy，于是221d1'd1(ee)d.4xxaasyxx故悬链线这段长为aaxysd'12aaxaxx0d)ee()ee()ee(10aaaaxax1()dee2xxaax例10求摆线(sin),(1cos)xattyat在π20t的一段长)0(a.解)cos1()(tatx,tatysin)(,于是ttattytxsd)cos1(2d)(')('d22ttad2sin2,由于在]π2,0[上，02sint，故这一拱摆线长为.82cos4d2sin2π20π20atattas思考题1.什么叫微元法?用微元法解决实际问题的思路及步骤如何?2．求平面图形的面积一般分为几步?