二次根式——知识讲解(教案)

二次根式（基础）【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：a≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1.a≥0，（a≥0）；2.（a≥0）；3..要点诠释：1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0aaa≥）.2.2a与2()a要注意区别与联系：1).a的取值范围不同，2()a中a≥0，2a中a为任意值。2).a≥0时，2()a=2a=a；a0时，2()a无意义，2a=a.【典型例题】类型一、二次根式的概念1（2015春•潍坊期中）下列各式中，一定是二次根式的有（）个．A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：2231x，-，一定是二次根式，故选：B．【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．【变式】下列式子中二次根式的个数有（）.（1）13；（2）3；（3）21x；（4）38；（5）21()3；（6）1x（1x）A．2B.3C.4D.5【答案】B.2．当x是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】x≥-且x≠-1【解析】依题意，得23010≥①≠②xx由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】（2015•随州）若代数式11xx有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠1【答案】D提示：∵代数式+有意义，∴，解得x≥0且x≠1．3.（2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1【思路点拨】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．【答案】C．【解析】解：依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：C．【总结升华】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）.A.23B.20.3C.2D.x【答案】B.类型二、二次根式的性质4.计算下列各式：(1)232()4(2)2(3.14)【答案与解析】(1)33=-2=-42原式.(2)=3.14-=-3.14原式.【总结升华】二次根式性质的运用.【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例3（2）（3）】【变式】（1）2)252(=_____________.（2）2)2(2aa=_____________.【答案】(1)10;(2)0.5.（2015春•孝南区月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：22||()||aaccbb|．【解析】解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c﹣b＜0，22||()||aaccbb=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.【总结升华】根据数轴判断出a、b、c的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.【变式】若整数m满足条件22(1)1,,5mmm且则m的值是___________.【答案】m=0或m=-1.6.根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式】x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x－11x,___________________；（2）y=222xx，______________________；【答案】(1)01001xxxx≥，≤且（2）2222(1)10,xxxx为任意实数.7.（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b【思路点拨】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【答案】A．【解析】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例4】8.已知cba,,为三角形的三边，则222)()()(acbacbcba=．【答案】abc【解析】cba,,为三角形的三边,0,0,0abcbcabca即原式=abcacbbca=abc【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.