函数与方程零点问题

..函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[探究]1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．3．函数零点具有哪些性质？提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)..的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)，那么下列命题中正确的是()A．函数f(x)在区间(0,1)有零点B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)有零点C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点D．函数f(x)在区间(1,16)无零点解析：选C由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)，故一定不在[2,16)．3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为()x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：选C令f(x)＝ex－x－2，则f(－1)＝0.37－10，f(0)＝1－20，f(1)＝2.72－30，f(2)＝7.39－40，f(3)＝20.09－50，所以方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：∵函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点为2和3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6...∴g(x)＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0，得x＝－12或－13.答案：－12，－135．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值围是________．解析：∵f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，∴f(－1)·f(1)0，即(1－5a)(1＋a)0.∴a15或a－1.答案：a15或a－1确定函数零点所在的区间[例1](1)(2013·模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(2)(2013·模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)，则实数a的取值围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)[自主解答](1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0.(2)由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解得0a3.[答案](1)C(2)C若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)，则k为何值？解：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝1x，在同一直角坐标系中..作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.———————————————————判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．(2013·模拟)在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为()A.－34，－12B.－12，－14C.－14，0D.0，14解析：选B易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－34＝e34－4×－34－3＝e340，f－12＝e12－4×－12－3＝e12－10，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－34，－12上；对于B，注意到f－120，f－14＝e14－4×－14－3＝e14－2414－20，因此在区间－12，－14上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f－140，f(0)＝－20，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－14，0上；对于D，注意到f(0)＝－20，f14＝e14－4×14－3＝e14－40，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，14上．2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)等于________．解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝1x＋2x20，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－10，f(e)＝lne－2e0，知x0∈(2，e)，..∴g(x0)＝[x0]＝2.答案：2..判断函数零点个数[例2](1)(2012·高考)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2xx，4x＋x≤的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[自主解答](1)因为y＝x12在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x12－12x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－10，f(1)＝120，所以f(x)＝x12－12x在定义域有唯一零点．(2)当x≤0时，函数有零点x＝－14；当x0时，作出函数y＝lnx，y＝x2－2x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x0时函数f(x)有2个零点．故函数f(x)的零点的个数为3.[答案](1)B(2)D———————————————————判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．..3．(2013·模拟)已知符号函数sgn(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C依题意得，当x－10，即x1时，f(x)＝1－lnx，令f(x)＝0得x＝e1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln1＝0；当x－10，即x1时，f(x)＝－1－lnx，令f(x)＝0得x＝1e1.因此，函数f(x)的零点个数为3.根据函数零点的存在情况求参数[例3]定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值围是()A.0，33B.0，22C.0，55D.0，66[自主解答]在方程f(x＋2)＝f(x)－f(1)中，令x＝－1得f(1)＝f(－1)－f(1)，再根据函数f(x)是偶函数可得f(1)＝0，由此得f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，由此可得函数f(x)是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x＝1对称，又当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，所以当x∈[0,1]时，f(x)＝f(x＋2)＝－2(x＋2)2＋12(x＋2)－18＝－2x2＋4x－2＝－2(x－1)2，根据对称性可知函数f(x)在[1,2]上的解析式也是f(x)＝－2(x－1)2，故函数f(x)在[0,2]上的解析式是f(x)＝－2(x－1)2，根据其周期性画出函数f(x)在[0，＋∞)上的部分图象(如图)，结合函数图象，只要实数a满足0a1且－2loga(2＋1)0即可满足题意，故0a1且log3a－12＝log333，即0a33.[答案]A..———————————————————已知函数有零点方程有根求参数值常用的方法和思路直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.4．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值围；(2)确定m的取值围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．法二：作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．..1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零