高考数学立体几何大题30题

1/30立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．∵△ABC是等腰直角三角形，,cm22DBAD又∵AD⊥DC，BD⊥DC．∴∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．有时当,cm4AB,22DBAD.90ADB.ABDBAD222（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件∵△ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，∴DP与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有ABCOABDOADCOBCDOBCDAVVVVV代入得3623r，即半径最大的小球半径为3623．ABC第1题图ABCD第1题图2/302．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴D1D⊥ABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂线定理知D1B⊥AC.同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，∴D1B⊥平面AEC.解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.∵EB⊥平面ABC，∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB，∴EB=.4912AAAB∴VB－AEC=VE－ABC=31S△ABC·EB=31×21×3×3×49=.827（10分）解（Ⅲ）连CF，∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，由三垂线定理知，CF⊥AE.于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，在Rt△ABE中，BF=59AEBEBA，在Rt△CBF中，tg∠BFC=35，∴∠BFC=arctg35.即二面角B—AE—C的大小为arctg35.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.答案：（I）证明：∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，ABCA1B1C1M第3题图3/30∴AM⊥MC1且AM=MC1∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC.∴C1M在底面内的射影为CM，由三垂线逆定理，得AM⊥CM.∵底面ABC是边长为1的正三角形，∴点M为BC中点.（II）解法（一）过点B作BH⊥C1M交其延长线于H.由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH为点B到平面AMC1的距离.∵△BHM∽△C1CM.AM=C1M=,23在Rt△CC1M中，可求出CC1.22.6623212211BHBHMCBMCCBH解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则11BMCAAMCBVV由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1，BM=.22,23,2111CCMCAM可求出AMShSMBCAMC113131232221213123232131h66h（III）过点B作BI⊥AC1于I，连结HI.∵BH⊥平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.∴HI⊥AC1，∠BIH为二面角M—AC1—B的平面角.在Rt△BHM中，4/30,21,66BMBH∵△AMC1为等腰直角三角形，∠AC1M=45°.∴△C1IH也是等腰直角三角形.由C1M=.332,63,23122HCBHBMHM有∴.36HI.21HIBHBIHtg4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．证：（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有ABDEFM//21//．∴四边形AFMB是平行四边形．∴AF//BM，∵BM平面BCE，AF平面BCE，∴AF//平面BCE．（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，则DE⊥AF．又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．又BM//AF，则BM⊥平面CDE．BMABVVVCDEBACDBABCDE22213124331232233233．（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．由DE⊥平面ACD，CG平面ACD，则DE⊥CG，又AD∩DE=D，∴CG⊥平面ADEB．作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．由已知AB=1，DE=AD=2，则3CG，∴23122111212)21(21GBES．不难算出5BE．5/30∴23521GHSGBE，∴53GH．∴315GHCGCHGtg．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，即PCBN21.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即PCAN21BNAN又∵M是AB的中点，ABMN（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DN⊥PC又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，而N是PC中点，则必有PM=MC.bacbca.41412222此时4,1PDAPDAtg.即二面角P—CD—A的大小为4（Ⅲ）AMDNAMNDVV，连结BD交AC于O，连结NO，则NO21PA.且NO⊥平面AMD，由PA=a324231aNOSVAMDAMDN.6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，∥＝ABCDPA1B1C1D1第6题图MN6/30并求出展开图中P、B两点间的距离。解：（I）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B1F∵B1B⊥平面ABCD∴B1F⊥MN2分则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角在Rt△B1FB中，设B1B=1，则FB24∴tgBFB∠1224分（II）过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连接BE又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1又BE⊥B1M∴PB⊥MB1又MN∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥MN又PD⊥平面ABCD∴PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB111分（III）PB132，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.（I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD7/30（II）解：∵AM⊥平面PCD（已证）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=22，∴PC=23.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，PM=21PD=2由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴PCPMCDMN..33arccos.33322)cos(PMNPCCDPMMNPMN即二面角P—AM—N的大小为33arccos.（III）解：延长NM，CD交于点E.∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，.33arcsin)2,0(.33)sin(MPNMPNPMMNMPN∴CD与平面AMN所成的角的大小为33arcsin8．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°.BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1.∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得，AB1⊥BC1（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，∴BO⊥平面AB1C.∴OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得，AB1⊥BP.∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角8/30∵△OPB1~△ACB1，∴,11ABOBACOP∴.3311aABACOBOP在Rt△POB中，26OPOBOPBtg，∴二面角B—AB1—C的大小为.26arctg（3）解：[解法1]∵A1C1//AC，A1C1平面AB1C，∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.∵BC1⊥平面AB1C，∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.∴点A1到平面AB1C的距离为.221aOC[解法2]连结A1C，有CAABCABAVV1111，设点A1到平面AB1C的距离为h.∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴1111CBShSACAACB，又212121,22111aAAACSaCBACSACAACB，∴.22222aaaah∴点A1到平面AB1C的距离为.22a9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E(Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E；(Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小(1)证明：连接A1C1交B1D1于点O∵ABCD－A1B1C1D1是长方体∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，根据三垂线定理得：AC1⊥B1D1；∵AB⊥平面BCC1