第12章平稳随机信号

第12章平稳随机信号12.1随机信号及其特征描述12.2平稳随机信号12.3平稳随机信号通过线性系统12.4平稳随机信号的各态遍历性12.5平稳随机信号应用举例1确定性信号：信号随时间变化具有规律性，可以准确预测，可以用某一明确的数学关系描述;随机信号:信号随时间变化不具有明确的规律性，不能准确预测，不能用明确的数学关系来描述。现实中的信号绝大部分是随机信号;研究方法：统计的方法，“估计”的方法。2随机信号：人体生理信号（ECG,EEG,PCG,…);语音信号；噪声信号；各种经济指标（作物产量，GDP,股票指数，价格指数，…）；各种自然现象:（河水流量，平均温度，单位面积承受到的风载太阳黑子数，…）等等320406080100120140160180200-2-1.5-1-0.500.511.52tX(t)X(t)=A*Sin(2*pi*f*t)A=2.0639A=1.7235A=1.2631A=0.6004A=0.1109420406080100120140160180200-0.500.5tX(t)X(t)=a*Sin(2*pi*f*t+fai)fai=1.5961fai=1.0252fai=2.4096fai=-0.5062fai=-1.4316均匀分布5随机信号示意图：6由以上例子可以看出：由于随机信号里某一个参数是随机的（即是随机变量），因此，对应随机变量的每一个取值（或称为每一次观察，或每一次实验），我们都可以得到一个信号（样本）；无穷次观察，可得到无穷个信号。每一个信号，都是该随机信号的一次实现，即样本无穷多，每一个样本的时间无限长！所以，随机信号是功率信号！712.1随机信号及其特征描述一、随机变量X离散型随机变量(二项式分布，泊松分布）X取值是离散的连续型随机变量（均匀分布，高斯分布）X取值是连续的8随机变量的描述：1.分布函数和概率密度：0()1()0()1()()PxPPifxythenPxPy()0()d1()()()dbapxpxxPbPapxx92.数字特征：()XEXxpxdx（1）均值：求均值运算222()XEXxpxdx（2）方差：10（3）均方值：()dmmmXEXxpxx3.矩（Moment)阶原点矩m01221,,XXXXXD11()dmmmXXXEXxpxx阶中心矩m01221,0,XXXX2XX标准差：1:m一阶统计量（均值）；2:m二阶统计量（方差，均方）；122:m高阶统计量：3331SkewXXXXXE斜度（skewness），无量纲，用来评价分布函数相对均值的对称性。4441Kurtosis33XXXXXE峰度，无量纲，表征分布函数在均值处的峰值特性。减3是为了保证正态分布的峰度为零。13协方差函数两个随机变量：14常用随机变量:1.均匀分布：若是在上服从均匀分布的实随机变量,则X[,]ab2Xab22()12Xbabax()px例115X若是离散型随机变量，且取0,1,,n的概率都相等，则为离散均匀分布的随机变量。X1()1pxn2Xn2(2)12Xnn概率密度均值方差162.高斯分布：高斯分布的pdf由其均值和方差所决定，实际上，其高阶统计量也由均值和方差所决定。2(,)XXN135(1):even0:oddmmXXmmm443XX高斯分布的峰度为零17二、随机向量11,,,,,NTTNXxxXXXμ随机向量均值向量的每一个元素都是随机变量，X1,,Nxx均值：,1,2,,ixiExiN方差：矩阵18协方差矩阵192112122122212cov,cov,cov,cov,cov,cov,NNNNNXXXXXXXXXXXX三、随机信号随机信号的特点：1.是时间的函数；2.样本无穷多，持续时间无穷长，所以，随机信号是功率信号；(,or)tn203.对任一时刻(),1,2,,ijxtijt的集合构成一个随机变量。随着的变化，我们会得到无穷多个随机变量。jt所以：随机信号是依赖于时间的随机变量。(or)tn所以：可用随机变量的方法来描述随机信号。21随机信号的描述：高维概率分布：这一种描述方法理论上最好，但是不实际的。找到高维的概率密度，或高维的分布函数是异常困难的。找到了，求解也非常困难。22数字特征－最常用的方法：1(){()}1(,)limXNNinEXnxniN1.均值：2.方差：时间的函数2322211(){()}(,)limNXNiDnEXnxniN3.均方1212*121(,)()()1(,)(,)limXNNirnnEXnXnxnixniN4.自相关函数5.自协方差函数121122*11221cov(,)()()()()1[(,)()][(,)()]limXXXNXXNinnEXnnXnnxninxninN24自相关函数描述了随机信号在和时刻的关系，是描述随机信号最重要的统计量。1n2n12nnn如果：2212(,)()()XXrnnEXnDn2212cov(,)()()()XxXnnEXnnn则1212(,)()()xyrnnEXnYn6.互相关函数()Xn257.互协方差函数121122cov(,)()()()()xyxynnEXnnYnn如果：12cov(,)0xynnX,Y不相关两个信号不相关，有：12121212(,)()()()()()()xyxyrnnEXnYnEXnEYnnn两个信号相互独立，有(,)()()pxypxpy26则为宽平稳（或广义）平稳信号12.2平稳随机信号()Xn平稳信号的均值和时间无关，为常数；自相关函数和时间的起点无关，只和两点的时间差有关。2722()XXDnD由此还可导出：*cov(){[()][()]XYXYmEXnYnm均方也与时间无关。实际中的大部分信号都可看作是宽平稳的。处理方便。28两个广义平稳随机信号：*(){()()]XYrmEXnYnm互相关函数互协方差函数几个概念：1.若则严（狭义）平稳，统计特性不随时间变化。()Xn则相互独立12(),()XnXn2.若12121122(,;,)(,)(,)XXpxxnnpxnpxn则不相关3.若12(),()XnXn29自相关函数的性质：(0)()XXrrm1.220XXXr及30交流分量直流分量总的平均功率2.偶对称Hermitian对称3.互相关2(0)(0)()(0)(0)2()XYXYXYXYrrrmrrrm4.互相关与自相关31实：虚：实：虚：det0MR5.令自相关矩阵则：自相关矩阵的这一性质在信号处理中有着重要的应用非负定326.功率谱密度PSD无法做傅里叶变换。那么，对随机信号，如何实现频谱分析？一般的方法，不是对信号直接进行傅立叶变换，而是对信号的自相关函数作傅立叶变换，这时得到的不再是频谱，而是功率谱（PowerSpectrumDensity,PSD)。即随机信号是功率信号33功率谱的定义：的一个样本；有限长时间序列，可以做傅里叶变换：34时域功率频域功率定义因为：所以：的功率谱352()(),()()lim21jjXijMjXMPeEPeiZEXePeM功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。功率谱定义1：36维纳—辛钦定理定理成立的条件：功率谱定义2：37功率谱的性质：始终是的实函数，因此功率谱（二阶统计量）失去了相位信息；非负；实过程的功率谱是偶对称的。384.复过程的功率谱不是偶对称的。定义：为随机信号的互功率谱,XY39随机相位正弦波所以是宽平稳的()Xn例140()sin()sin()0xnEAnEAn1212212212(,)sin()sin()sin()sin()sin()sin()xrnnEAnAnEAnnnn随机幅度正弦波所以不是宽平稳的()Xn例241多随机相位正弦波的和2121()cos()2()()()2LkxkkLkjxkkkArmmAPe线谱仍然是宽平稳的例342白噪声信号，特点（定义）：()un2(),~juPe自相关函数有如下特点：白噪声中任意两点都不相关！平的谱例443多正弦加白噪声：221()exp()LxkkukrmAjmm线谱＋平谱：ARMA谱（极－零谱）例5221()2()LxkkukPA44已知平稳信号的自相关函数(),1mXrmaa求功率谱。00()1mjjmXmmjmmjmmmPeaeaeae221()12cosjXaPeaa实函数例645()coh()()()jjXYjjXYPeepePe定义：为两个随机信号的频域归一化相干（coherence）函数，类似于时域相关系数的定义，但coh是频率的函数。:()(),coh()1jifXnYnthenecoh()0je:(),()ifXnYn不相关，0coh()1,je46一阶马尔可夫过程111100[()(),(),,()]nnnnnnpXtxXtxXtxXtx11[()()]nnnnpXtxXtx随机信号，若其概率密度函数满足()Xt称X(t)为马尔可夫（Markov）过程()()nXtXn011nntttt(0),,(1)XXn47表示过程在各个时刻的状态上式的含义是:已知过程在现在时刻的状态，那么，下一个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过去的状态nt()Xn1nt(1)Xn(1),,(0)XnX无关！11()1Hzz()hn例8()(1)()XnXnunMarkov-Ⅰ过程2():0,varun噪声4812.3平稳信号通过线性系统()hn()()*()()()kYnXnhnXkhnk两边不能直接取傅立叶变换和Z变换，因为输入、输出都是功率信号。频域关系如何？取决于系统的线性。所以，也是平稳的随机信号。()Yn49有如下四个关系成立：由此可以看出：随机信号通过线性系统，使用的是输入、输出的自相关函数、自功率谱、互相关函数和互功率谱。50解：(1)例151所以：(2)由差分方程，有52:方差为1的白噪声序列，即：也是平稳信号，已知求：系统辨识问题例253解：由有10.210.210.510.5jjjjeeee又1.040.4cos()1.25cosjXPe54jze10.210.2()10.510.5jjjXjjeePeee最小相位最大相位5512.4平稳信号的各态遍历性这种平均称为“集总平均（EnsembleAverage)”，需要无穷多样本。11{()}(,)limNxNiEXnxniN对样本求和56在具备一定的条件下，观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数的“时间平均（TimeAverage)”等于其集总平均,于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。此性质称为“各态遍历性（Ergodic)”。对时间求和(,)xni57定义：如果的集总均值和其单一样本的时间均值依概率1相等，则