全等三角形证明题(含答案版)

11、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，3412DAAB，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90oAD=2,∴AF=3,DF=1,由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=13.2、如图，,ABACADBCDADAEABDAEDEF于点，，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADBADC△≌△、ABDABE△≌△、AFDAFE△≌△、BFDBFE△≌△、ABEACD△≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB≌ADC为例证明．证明：,90ADBCADBADC°.在RtADB△和RtADC△中，,,ABACADADRtADB△≌RtADC△.3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.ACBDEFG14232【解析】（1）∵∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABE=90°在Rt△ABE和Rt△CBF中∵AE=CF,AB=BC∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠CAB=∠ACB=45°∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．题20图【解析】∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中，ACBCACEBCDCECD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD.5、如图10，已知ADERtABCRt，90ADEABC,BC与DE相交于点F，连接EBCD,．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：EFCF．【解析】（1）ABEADC,EBFCDF（2）证法一：连接CE∵ADERtABCRt∴AEAC∴AECACE又∵ADERtABCRt∴AEDACB∴ABCEF第22题图3AEDAECACBACE即DECBCE∴EFCF证法二：∵ADERtABCRt∴EADCABABADAEAC,,,∴DABEADDABCAB即EABCAD∴)(SASAEBACD∴ABEADCEBCD,又∵ABCADE∴EBFCDF又∵BFEDFC∴)(AADEBFCDF∴EFCF6、如图，点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．（1）求证：AB=AE；（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）．【解析】（1）证明：联结AC、AD∵点F是CD的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD∴∠ACD=∠ADC∵∠BCD＝∠EDC∴∠ACB＝∠ADE∵BC=DE，AC=AD∴△ABC≌△AED∴AB=AE（2）BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE7、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)求证：OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1FMOCDBAE图2FMOCDBAE【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴BOE=AOF＝90．OB＝OA又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE∴MEA＝AFO∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE=OFABCDEF4(2)OE＝OF成立证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BOE=AOF＝90．OB＝OA又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE又∵MBF＝OBE∴F＝E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE=OF8、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；【解析】（1）060CMQ不变。060CAPBACAB，等边三角形中，又由条件得AP=BQ，∴ABQ≌CAP(SAS)∴ACPBAQ∴060BACCAMBAQCAMACPCMQ（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t当34,24,2,609000tttBQPBBPQB得时，当2),4(22,2,609000tttPQBQBBPQ得时，∴当第34秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形（3）0120CMQ不变。060CAPBACAB，等边三角形中，∴0120ACQPBC又由条件得BP=CQ，∴PBC≌ACQ(SAS)∴MQCBPC又MCQPCB∴0120PBCCMQAPBQCM图1APBQCM图259、如图：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；（2）如图（1）若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域.【解析】解：（1）点M（2）经过t秒时，NBt，2OMt则3CNt，42AMt∵BCA=MAQ=45∴3QNCNt∴1PQt∴11(42)(1)22AMQSAMPQtt△22tt∴2219224Sttt∵02t≤≤∴当12t时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则3CNt，42AMt∴BCA=MAQ=45①若90AQM，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴12PQAPMA∴11(42)2tt∴12t∴点M的坐标为（1，0）②若90QMA，此时QM与QP重合∴QMQPMA∴142tt∴1t∴点M的坐标为（2，0）10、如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。DEABCDEABC（1）D，DEABC备用图6【解析】ACCE，BDDF90ACEBDF在RtACE与RtBDF中AEBFACBD∴RtACERtBDF(HL)ABAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF与BDE中AFBEABACBDACFBDE(SAS)11、如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。【解析】延长AE至点F，使EFAE，连接DF在ABE与FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFADFADBEDF，ADCBADB又ADBBADADFADCABDF，ABCDDFDC在ADF与ADC中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又2AFAE2ACAE。12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7【解析】在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE