弹性力学-第六章-弹性力学的边值问题及一般原理

第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题弹性力学主讲邹祖军第六章弹性力学的边值问题及其性质§2.2关于边值条件的进一步说明§6.3叠加原理§6.4解的存在性和唯一性§6.5位移解法§6.6应力解法§6.7圣维南原理§6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连续第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题一、平衡微分方程　01fzyxzxyxx02fzyxzyyxy　　03fzyxzyzxz　　二、几何方程xwzuzvywyuxvzwyvxuxzyzxyzyx,,,,)(022,tufiijij（6.1）§6.1弹性力学边值问题)(21,,ijjiijuu（6.2）应变协调方程yxxyxy22y22x2yxxzyxx2yzxyzx2zyyzyz22z22y2zxyxzyy2xzyzxy2zxzxxz22x22z2yxzyxzz2xyzxyz20,jlqikpklijee第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题kjililkjijklklij,,,,三、本构方程)]([1)]([1)]([1yxzzxzyyzyxxEEExyxyzxzxyzyzEEE)1(2)1(2)1(2用应力表示应变的物理方程ijijijEE1（6.3b）第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题用应变表示应力的物理方程ijijijijkkij22(6.3a)第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题;)1(2;)1(2)11()21)(1()1()11()21)(1()1()11()21)(1()1(xzxzxyxyyxzzzxyyzyxxEEEEEyzyzE)1(23个平衡方程,6个几何方程,6个物理方程.共15个方程,15个未知量即3个位移,6个应变分量,6个应力分量.四、边界条件321321321321TnnnTnnnTnnnsyzsxzszsxyszysyszxsyxsx（6.4）应力边界条件位移边界条件wuuvuuuuu332211,,第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题iiuuijjinT在上uS在上TS（6.5）第一类边值问题应力边值问题第二类边值问题位移边值问题第三类边值问题混合边值问题321ffff321TTTT求应力分量和位移分量已知体力和面力wvu,,求应力分量和位移分量已知体力和边界位移wvu,,求应力分量和位移分量已知体力和部分面力和部分边界位移弹塑性力学问题就是偏微分方程组的边值问题.微分提法第六章弹性力学的边值问题及其性质§6.1弹性力学边值问题SuS()T(T1,T2,T3)f1,f2,f3321ffff321ffff第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.2关于边界条件的进一步说明§6.2关于边界条件的进一步说明设a是一个单位矢量。则边界上某一点在a方向的常见边界条件是下列三种条件之一：auuaauA.已知a方向的位移为,即（6.6）B.已知a方向的面力为,即aT（6.7）aTTanσaC.a方向是弹性支撑,即0kTaua（6.8）它表示a方向的面力和位移成正比且方向相反。其中k是已知表面S上的点的函数.第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.2关于边界条件的进一步说明在同一点的同一方向上只能已知一个条件。VSdVdSfT0VSdVdSrfrT0弹性体必须满足整体平衡条件。1a2a3a在实际问题中，对边界上的每一点，必须给出三个相互垂直的方向、和上的三个独立边界条件。这三个条件可以取(6.6)、(6.7)和(6.8)中的任意三个来组成。只对边界条件(6.4)和(6.5)来讨论问题§6.3叠加原理uuuεεεσσσ(d)第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.3叠加原理12()2uTVVVSSσfεuuσIεuuσnT0在中在中在中在上在上σ,ε,uσ,ε,u12()2uTVVVSSσfεuuσIεuuσnT0在中在中在中在上在上12()2uTVVVSSσffεuuσIεuuuσnTT0在中在中在中在上在上(a)(b)(c)基本方程和边界条件是线性,叠加原理成立第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.4解的存在性和唯一性§6.4解的存在性和唯一性A.解的存在性弹性体在载荷作用和合理的约束下总有相应的位移场和应力场.实际的弹性力学问题总是有解的.如总体平衡条件不满足,边界上位移不连续,则弹性力学边值问题不一定存在.B.解的唯一性线性弹性力学解的唯一性定理:对弹性力学边值问题,应变场和应力场的解是唯一的,位移场的解可能不唯一,不同的位移场间相差一个刚体位移,若位移边界条件足以确定刚体位移,则位移场的解也是唯一的.σ,ε,u12()uTVVVSSσfεuuσEεuuσnT0:在中在中在中在上在上(a)第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.4解的存在性和唯一性σ,ε,u12()uTVVVSSσfεuuσEεuuσnT0:在中在中在中在上在上(b)uuuεεεσσσ12()uTVVVSSσεuuσEεuσn0:00在中在中在中在上在上(c)(d)设和(c)对应的应变能密度是W,2ijijijijVVVWdVdVudV,ijjiijjiSVnudSudV第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.4解的存在性和唯一性0VWdV0Wε0εεσ0σσ()ooouuuωrr逆解法:预先选取一组位移或应力函数,由此确定其它的未知函数,然后验证是否满足基本方程和边界条件,如果满足,则根据解的唯一性定理,该组位移或应力函数以及由其确定的求知函数的解就是所求的解.半逆解法:在所有的未知量中,根据问题特点或已有研究成果,预先假设一部分未知量为已知,然后利用基本方程和边界条件,确定其余的未知量.VSdVdSuσ)(un)(σ弹性力学空间问题有15基本方程，15个未知函数。实际上解边值问题用两种方法：位移解法和应力解法位移解法（以位移作为基本未知函数，拉梅方程）将几何方程代入应变表示应力的物理方程。得弹性方程u)(2)(2)(2ii,iiuzwyvxuyuxvzwzuxwyvzvywxuxyzxzyyzx（a）§6.5位移解法第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.5位移解法,,()ijijijjiuu展开)(21,,ijjiijuu（6.2）ijijijijkkij22(6.3a)（b）将式（a）代入平衡微分方程，整理后得：（6.9a）式（6.9a）是以位移表示的平衡微分方程，又称拉梅方程式中：2222222zyx拉普拉斯算子iizyxwvu体积应变第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.5位移解法,,,()0jijijjjijiuuf)(022,tuXiijij（6.1）,,,jijjjiiuu因2,()0iiiuf2()uf0（6.9b）212223()0()0()0ufxvfywfz（6.9c）在没有体力作用且不考虑固体运动时0)(0)(0)(222wzvyux体力为常量时,对式(6.9b)取散度则（6.12）（6.11）第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.5位移解法2020所以体力为常量时，体积应力和体积应变均为调和函数体力为常量时,对式(6.9b)两边作用Laplace算子,得222()()u0用位移表示的应力边界条件为：因此体力为常量时，位移、应变和应力都是双调和函数。04iu0044ijij224224224444444224222xzzyyxzyx第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.5位移解法22u0（6.13）从几何关系和上式得12222222[()()]εuu0（6.14）再用本构关系和上式，得2222:σEε0（6.15）nzwnzvnzunzwnywnxwnTnywnyvnyunzvnyvnxvnTnxwnxvnxunzunyunxunT)()()()()()(321321333213212232132111位移解法：在给定的边界条件下求解拉梅方程。求得位移分量.由几何方程确定应变分量，再由物理方程求得应力分量第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.5位移解法把(a)代入(6.5)，得（a）,,()ijijijjiuuijjinT在上TS（6.5）,,()iijjijiTnuunTS在上（6.10）第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.6应力解法将应力表示应变的物理方程代入应变协调方程中，并利用平衡微分方程加以简化和整理便得到应力解法（应力为基本未知函数，贝脱拉密-米切尔方程）§6.6应力解法1,1kipikpeeP固定,使0ikpe,0ijklikpjlqee(3.34b),,,,0ijklkjililkjklijlk（a）令,,,,0ijkkkjikikkjkkij(a)与原来协调方程等价，将胡克定律(6.3b)代入上式得0)(,,jlqilkjklije第六章弹性力学的边值问题及一般原理§6.6应力解法,,,,,(1)(1)()0ijkkkjkiikkjijkkij把平衡方程代入上式的第二项，得22,,,1011ijijijjiijff（b）令ij，并求和2,1111kkff（c）2,,,,1011ijijkkijjiijfff（6.16a）把式(c)代