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中考压轴题平行四边形、矩形、菱形、正方形1．图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．2．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）CADBGPEMNFQHO图1ABMOCDPxy图2ABMOCDPxyEH3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜＜90°）．（1）求∠HAE的大小（用含的代数式表示）；（2）求证：HE＝HG；（3）判断四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．4．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．5．如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．（1）该正方形的边长为____________；（2）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．EBFGDHAC图3ADBCEFG图2ABCFDEG图1ABCFDEABCD6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF＝AB＋AF．8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．（1）求证：h1＝h3；（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；（3）若32h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．BCDAOEMFBCDAOM备用图ABCDGEFCADBh1h2h3l1l2l3l49．如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC的中点，求证：MN⊥BC且MN＝12BC．10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，DP＝13AD，CQ＝13BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；（3）如图3，DP＝1nAD，CQ＝1nBC，点D的对应点F在PQ上．①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．CAFBDEGMN图1CAFBDEPQ图2CAFBDEPQ图3CAFBDEPQCABDPQ12．如图①，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，BE⊥BC交直线AD于点E．（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD＝x，ED＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由．CAEDFO(B)xy图①CAEDO(B)xy图②CADO(B)xy图③DABCE14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G．（1）求AEFG的值；（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．（1）求CF和EF的长；（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．DABCEMFGO（图3）DNBCEMFAPxy（图2）DNBCEMFAP（图1）DBCEFA16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－23x＋m交折线OAB于点N．（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1．①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．17．如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作BD︵，将一块直角三角板的直角顶点P放置在BD︵（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，设PQ＝x．（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由；（2）求△CPQ周长的最小值；（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时，求x的取值范围．AMyBCONxAyBCOx备用图AyBCOx备用图APBCDQABCD备用图ABCD备用图18．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝45，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．（1）当t＝5秒时，求PQ的长；（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比；（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝10，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是（－6，0）．（1）求点C的坐标；（2）连接BD，点P是线段CD上一动点（点P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD于点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，S△BQE＋S△AQE＝45S△DEP？并判断此时以点P为圆心，以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由．ADCBEFQPADCBE备用图FCAByDO备用图xCAByDOx20．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．21．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD＝43．若线段OA的长是一元二次方程x2－7x－8＝0的一个根，又2AB＝3OA．请解答下列问题：（1）求点B、F的坐标；（2）求直线ED的解析式；（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．CABDEGF图2CABDEGF图4CABDEGF图3BFDyAOxCECABDEF图122．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB．（1）求点B的坐标；（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）．①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的320？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．23．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝833，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．（1）求点E的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．BAyCOxBAyCOx备用图BAyCOx备用图EBCAODyx24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的