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专题训练(七)切线证明的方法一、有交点，连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直1．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED.求证：AD是⊙O的切线．解：连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝∠BEO，∠B＋∠BEO＝90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：PA是⊙O的切线．解：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACP＝12∠AOP＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PAO＝90°，∴OA⊥AP，∴PA是⊙O的切线(二)利用全等证垂直3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．解：连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线(三)利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．解：连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线二、无交点，作垂直，证半径5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与⊙D相切．解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O相切6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．解：连接OE，过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切7．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.解：(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∴CD是⊙O的切线(2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6三、与切线证明方法有关的综合问题8．(2014·江西)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．解：(1)△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝12·OC·OP＝12×4×2＝4，即△OPC的最大面积为4(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OCP＝30°(3)连接AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线