用FFT对信号作频谱分析

实验三：用FFT对信号作频谱分析一、实验原理与方法1、用FFT对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是N2，因此要求DN2。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N要适当选择大一些。2、周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。3、对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。二、实验内容1、对以下序列进行FFT谱分析：)()(41nRnxnnnnnnx其他0748301)(2nnnnnnx其他0743304)(3选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.1、实验结果见图3.1。2、对以下周期序列进行谱分析：nnx4cos)(4nnnx8cos4cos)(5选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.2、实验结果见图3.2。3、对模拟周期信号进行频谱分析：ttttx20cos16cos8cos)(6选择采样频率Fs=64Hz，FFT的变换区间N为16、32、64三种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.3、实验结果见图3.3。4、已知有序列：nnnnnnx其他0748301)(2nnnnnnx其他0743304)(3)()()(329njxnxnx对)(9nx选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.4、实验结果见图3.4。5、已知序列1,2,3,3,2,1)(nx。（1）求出)(nx的傅里叶变换)(jweX，画出幅频特性相频特性曲线（提示：用1024点FFT近似)(jweX）；（2）计算)(nx的)6(NN点离散傅里叶变换)(kX，画出幅频特性和相频特性曲线；（3）将)(jweX和)(kX的幅频特性和相频曲线特性分别画在同一幅图中，验证)(kX是)(jweX的等间隔采样，采样间隔为N/2；（4）计算)(kX的N点IDFT,验证DFT和IDFT的唯一性。程序见附录3.5、实验结果见图3.5、3.6、3.7。6、选择合适的变换区间长度N，用DFT对下列信号进行谱分析，画出幅频特性和相频特性曲线。程序见附录3.6、实验结果见图3.8、3.9。)55.0sin()45.0sin()(2nnnx)10(2)(2131nRnxn三、实验结果和分析、讨论及结论1、实验结果图3.1)()()(321nxnxnx、、的幅频特性曲线实验分析、讨论及结论：)(1nx、)(2nx、)(3nx是非周期的对称序列。由实验结果可以看出所得的实验频谱图是正确的，它与理论频谱是一致的。2、实验结果图3.2)()(54nxnx、的幅频特性曲线实验分析、讨论及结论：nnx4cos)(4的周期为8，所以N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25处有1根单一谱线。nnnx8cos4cos)(5的周期为16，所以N=8不是其周期的整数倍，得到的频谱不正确。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25π和0.125π处有2根单一谱线。3、实验结果图3.3)(6tx采样频率Fs=64Hz的幅频特性曲线实验分析、讨论及结论：由实验结果可知，)(6tx有3个频率成分：f1=4Hz,f2=8Hz,f3=10Hz。所以x6(t)的周期为0.5s，采样频率Fs=64Hz=16f1=8f2=6.4f3。变换区间N=16时，观察时间Tp=16T=0.25s，不是)(6tx的整数倍周期，所以所得频谱不正确，如图3.3（6a）所示。变换区间N=32，64时，观察时间Tp=0.5s，1s，是)(6tx的整数周期，所以所得频谱正确。4、实验结果00.511.52051015202530(9a)8点DFT[x9(n)]ω/π幅度00.511.52051015202530(9b)16点DFT[x9(n)]ω/π幅度图3.4)(9nx的幅频特性曲线实验分析、讨论及结论：实验结果表明所得)(9nx的频谱和其理论得出的频谱一致。它是由)(2nx和)(3njx相加所得，可以看出它是一个非周期性的近似对称序列。5、实验结果00.20.40.60.811.21.41.61.82051015x(n)的幅频曲线00.20.40.60.811.21.41.61.82-4-2024x(n)的相频曲线图3.5傅里叶变换)(jweX的幅频特性相频特性曲线0123456051015N=6点时的DFT[x(n)]=x1(k)012345-4-2024x1(k)的相位05101520051015N=18点的DFT[x(n)]=X2(k)05101520-4-2024X2(k)的相位010203040051015N=36点时的DFT[x(n)]=X3(k)05101520253035-4-2024X3(k)的相位图3.6)6(NN点离散傅里叶变换)(kX的幅频特性相频特性曲线00.511.522.533.544.5500.511.522.53x1(k)作2DFT,得到的xl(n)与原序列x(n)一致图3.7)(kX的2点IDFT实验分析、讨论及结论：图3-5显示的是x(n)的傅里叶变换)(jweX的幅频特性和相频特性曲线；图3-6显示的是x(n)在N处分别等于6,18,36点时的DFT及相应的相位特性曲线,并且在图3-5中将)(jweX和X(k)的幅频特性分别画在同一幅图中,可以看出,X(k)是)(jweX的等间隔采样,采样间隔为N2。图3-7显示的是利用得到的X(k)作IDFT,得到的序列与原序列x(n)完全一致,因此也验证了DFT和IDFT的唯一性。6、实验结果00.511.520510(a)x1(n)的幅频特性图ω/π幅度00.511.52-505ω/π相位00.511.5201020(c)x2(n)的幅频特性图ω/π幅度00.511.52-505ω/π相位图3.8)(2nx的幅频特性图0510152025303500.20.40.60.81(e)x3(n)的32点周期延拓序列00.511.520123(f)DFT[x3(n)]32的幅频特性图ω/π幅度00.511.52-4-2024x10-3(g)DFT[x3(n)]32的相位ω/π相位01020304050607000.20.40.60.81(h)x3(n)的64点周期延拓序列00.511.520123(i)DFT[x3(n)]64的幅频特性图ω/π幅度00.511.52-4-2024x10-3(j)DFT[x3(n)]32的相位ω/π相位图3.9)(3nx的幅频特性相频特性曲线实验分析、讨论及结论：)(2nx是周期序列，所以截取了一个周期用DFT进行谱分析，而)(3nx是非因果、非周期序列。它也是一个实偶对称序列，所以其相位应该是零。四、思考题1、对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？答：可先截取M点进行DFT,再将截取长度扩大1倍，比较两次的结果。如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以两者中的一个近似表示周期序列的频谱，否则，继续把截取长度加倍，重复上述步骤。2、如何选择FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）答：（1）对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变换区间有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2π/N...因此有最小的N2π/F。就可以根据此式选择FFT的变换区间。（2）对于周期信号，周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。3、当N=8时，)(2nx和)(3nx的幅频特性会相同吗？为什么？N=16呢？答：不同，因为这样会影响是不是周期的整数倍的问题，即影响了频谱的正确性。五、总结与心得体会实验总结如下：通过实验，我知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是DN2。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。此次实验所遇到的问题主要出现在编程方面，由于对FFT的了解不够深刻，编程时经常出现大大小小的问题，也出现过漏加符号的情况，但通过认真的学习了解，成功的解决了问题。另外，在解决书里面的题时，因为对傅里叶变换的理解有误，导致进行傅里叶变换时出现了错误，但通过同学的讲解，解决了对傅里叶变换的困惑，成功的完成了实验。实验的心得体会见下：在此次试验中，通过实验加深了对MATLAB软件的了解，体会到了MATLAB具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化等功能。通过做实验的过程以及实验分析的结果，知道了用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。通过这次的实验。极大地提升了自己对于程序编辑的熟练度，增加了对于书本里面知识点的应用，更深一层的加深了对MATLAB软件的使用。这对自己以后的实验积累了丰富的经验。六、附件：MATLAB原程序清单3.1对)()()(321nxnxnx、、作FFT变换区间N为8和16时的频谱分析x1n=[ones(1,4)];%产生序列向量x1(n)=R4(n)M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;x2n=[xa,xb];%产生长度为8的三角波序列x2(n)x3n=[xb,xa];X1k8=fft(x1n,8);%计算x1n的8点DFTX1k16=fft(x1n,16);%计算x1n的16点DFTX2k8=fft(x2n,8);%计算x1n的8点DFTX2k16=fft(x2n,16);%计算x1n的16点DFTX3k8=fft(x3n,8);%计算x1n的8点DFTX3k16=fft(x3n,16);%计算x1n的16点DFT%以下绘制幅频特性曲线subplot(3,2,1);mstem(X1k8);%绘制8点DFT的幅频特性图title('(1a)8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])subplot(3,2,2);mstem(X1k16);%绘制16点DFT的幅频特性图title('(1b)16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])subplot(3,2,3);mstem(X2k8);%绘制8点DFT的幅频特性图title('(2a)8点DFT[x_2(n