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2017年中考备考专题复习：相似与位似一、单选题（共12题；共24分）1、下列各组线段长度成比例的是（）A、1cm、2cm、3cm、4cmB、1cm、3cm、4.5cm、6.5cmC、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmD、1cm、2cm、2cm、4cm2、如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A、B、BC2=AB•BCC、＝D、≈0.6183、设（2y﹣z）：（z+2x）：y=1：5：2，则（3y﹣z）：（2z﹣x）：（x+3y）=（）A、1：5：7B、3：5：7C、3：5：8D、2：5：84、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）A、（－2，3）B、（2，－3）C、（3，－2）或（－2，3）D、（－2，3）或（2，－3）5、已知k=，且+n2+9=6n，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第（）象限．A、一、二B、二、三C、三、四D、一、四6、在△ABC中，AB=AC=1，BC=x，∠A=36°.则的值为（）A、B、C、1D、7、线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC与AB的关系是（）A、AC=ABB、AC=ABC、AC=ABD、AC=AB8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）.A、5：8B、3：8C、3：5D、2：59、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）第3页共24页◎第4页共24页A、72B、18C、12D、2010、如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）.A、5B、10C、D、11、（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A、1：B、1：C、1：2D、2：312、（2016•台湾）如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（）A、q＜r，QE=RCB、q＜r，QE＜RCC、q=r，QE=RCD、q=r，QE＜RC二、填空题（共5题；共5分）13、已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=________．14、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第________张．15、（2016•苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为________16、（2016•宜宾）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4﹣4．17、（2016•昆明）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为________．三、作图题（共1题；共5分）18、（2016•陕西）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）四、解答题（共4题；共20分）19、已知：如图，△ABC∽△ADE，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．20、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．21、（2016•南海区校级模拟）如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）22、（2016春•薛城区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为．第7页共24页◎第8页共24页五、综合题（共2题；共25分）23、（2016•邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．(2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．24、（2016•衢州）如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．(1)当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．(2)当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．(3)当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】比例线段【解析】【解答】A、1×4≠2×3，故错误；B、1×6.5≠3×4.5，故错误；C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故错误；D、1×4=2×2，故正确．故选D．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．依次分析各项即可．【答案】B【考点】黄金分割【解析】【解答】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2=AB•BC，故B错误，＝，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选B．【分析】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．【答案】B【考点】分式的化简求值，比例线段【解析】【解答】由已知，得2（2y﹣z)=y，即y=z，①5（2y﹣z)=z+2x，即x=5y﹣3z，②由①②，得x=z，③把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7．故选B．【分析】先根据已知条件，利用z来表示x和y，然后再将其代入所求化简、求值。【答案】D【考点】坐标与图形性质，位似变换【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：1：2，∵点B的坐标为（-4，6)，∴点B′的坐标是：（-2，3)或（2，-3)．故选：D．【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6)，即可求得答案．【答案】A【考点】比例的性质，一次函数的性质，平方的非负性，二次根式的非负性【解析】【解答】+n2+9=6n，=﹣（n﹣3)2，∴m=5，n=3，∵k=∴a+b﹣c=ck，a﹣b+c=bk，﹣a+b+c=ak，相加得：a+b+c=（a+b+c)k，当a+b+c=0时，k为任何数，当a+b+c≠0时，k=1，即：y=kx+8或y=x+8，所以图象一定经过一二象限．故选A．【分析】首先由+n2+9=6n，根据二次根式和完全平方式确定mn的值，再由k=，利用比例的性质确定K的值，根据函数的图象特点即可判断出选项．【答案】D【考点】黄金分割第11页共24页◎第12页共24页【解析】【解答】由题意可得△ABC为黄金三角形，根据黄金比即可得到x的值，再代入求值即可.∵AB=AC=1，∠A=36°∴△ABC为黄金三角形∴BC=∴==故选D.【分析】解题的关键是熟记顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，黄金比为【答案】B【考点】黄金分割【解析】【解答】根据黄金分割的概念知，AC：AB=，∴AC=AB．故本题答案为：B．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．【答案】A【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选：A．【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】设△DEF最短的一边是x，∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，∴=，解得：x=18．故选B．【分析】设△DEF最短的一边是x，由相似三角形的性质得到=，即可求出x，得到△DEF最短的边．【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2，，，要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是，所以这两，相似三角形的相似比是:=:5△ABC的面积为2×1÷2=1，所以△DEF的最大面积是5．故选A．【分析】要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．【答案】D【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴AD=AB，BD=