2020版高考数学选择题的解题技巧

1高考数学中选择题的解题技巧高考数学选择题是高考考查的三大题型之一，有12题之多，总分有60分。因此，研究选择题的解答技巧就显得十分必要。数学选择题有4个选项，其中仅有一个是正确的，因此，其解答方法除了正面直接推理、计算以外，也可以采用排除法，排除3个错误选项，从而获得正确选项。采用数形结合取特值、代入验证、范围估计、等价转化等特殊方法，巧妙解答选择题也是必须灵活掌握的，只有方法加技巧才能达到“快、巧、准”地解答选择题的目的。选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，且大多数题的解答过程可用特殊方法快速解答。一般来说，能定性判断的，就不再使用定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必直接解答；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。下面对直接求解法、特殊值法、排除法、估算法、推理分析法等方法作以分析。21直接求解法直接解答型选择题可以直接从题设条件出发，利用相关概念、定理、性质、公式和法则等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得出结论，与选项对照，选择正确选项。直接解答型选择题相对来说比较简单。例1(2019年全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足||2||=ab，且()−ab⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解析】设a与b的夹角为，()−ab⊥b，()0−=abb，2=abb，∴2||||cos||=abb，又||2||=ab，∴1cos2=，∵(0,)，∴3=．故选B．例2(2018年全国Ⅱ)若()cossin=−fxxx在[,]−aa是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π【解析】()cossin2cos()4=−=+πfxxxx，且函数cos=yx在区间[0,]上单调递减，则由04+≤≤x，得344−≤≤x．因为()fx在[,]−aa上是减函数，所以434−−≥≤aa，解得4≤a，例3(2017全国Ⅱ)若2x=−是函数21()(1)xfxxaxe−=+−的极值点，则21()(1)xfxxaxe−=+−的极小值为A．1−B．32e−−C．35e−D．1【解析】∵21()[(2)1]xfxxaxae−=+++−，∵(2)0f−=，∴1a=−，所以21()(1)xfxxxe−=−−，21()(2)xfxxxe−=+−，令()0fx=，解得2x=−或1x=，所以当(,2)x−−，()0fx，()fx单调递增；当(2,1)x−时，()0fx，()fx单调递减；当(1,)x+，()0fx，()fx单调递增，所以()fx的极小值为11(1)(111)1fe−=−−=−，选A．【归纳总结】直接法是解答选择题最常用的方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．32特殊值法该类题目可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证，从而否定并排除不符合题目要求的选项，间接地得到符合题目要求的选项．例4(2019年全国Ⅱ卷)若ab，则A．ln()0ab−B．33abC．330ab−D．||||ab【解析】当0.3a=，0.4b=−时，ln()0ab−，33ab，||||ab，故排除A，B，D．故选C．例5(2018年全国Ⅰ)设函数32()(1)fxxaxax=+−+，若()fx为奇函数，则曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为A．2yx=−B．yx=−C．2yx=D．yx=【解析】法1：∵()fx为奇函数，其解析式的三项中3x和ax为奇函数，2(1)ax−为偶函数，所以10a−=，即1a=；法2：∵函数32()(1)=+−+fxxaxax为奇函数，所以(1)(1)0−+=ff，所以11(11)0−+−−++−+=aaaa，解得1=a；所以3()=+fxxx，2()31=+fxx，所以(0)1=f，所以曲线()=yfx在点(0,0)处的切线方程为=yx．故选D．4例6(2017山东)若0ab，且1ab=，则下列不等式成立的是A．()21log2abaabb++B．()21log2ababab++C．()21log2abaabb++D．()21log2ababab++【解析】取2a=，12b=，则1224ab+=+=，2112228ab==，22log()log42ab+==，所以()21log2ababab++，选B．例7(2016浙江)已知实数a，b，cA．若2||abc+++2||abc++≤1，则222abc++100B．若2||abc+++2||abc+−≤1，则222abc++100C．若2||abc+++2||abc+−≤1，则222abc++100D．若2||abc+++2||abc+−≤1，则222abc++100【解析】取a=10，b=10，c=−110，可排除选项A；取a=10，b=−100，c=0，可排除选项B；取a=10，b=−10，c=0，可排除选项C．故选D．【归纳总结】特殊值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．用特殊值法解题时要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止．53排除法该类型题目中的条件一般多于一个，可利用排除法先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，逐步排除，直到得出正确的选项．将排除法与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．例8(2019年全国Ⅰ卷)设复数z满足|i|1z−=，z在复平面内对应的点为(,)xy，则A．22+11()xy+=B．221(1)xy+=−C．22(1)1yx+−=D．22(+1)1yx+=【解析】在复平面内，点(1,1)所对应的复数1i=+z满足|i|1−=z，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数2i=z满足|i|1−=z，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B．故选C．例9(2018年北京)设集合{(,)|1,4,2},Axyxyaxyxay=−+−≥≤则A．对任意实数a，(2,1)AB．对任意实数a，(2,1)AC．当且仅当0a时，(2,1)AD．当且仅当32a≤时，(2,1)A【解析】通解点(2,1)在直线1xy−=上，4axy+=表示过定点(0,4)，斜率为a−的直线，当0a时，2xay−=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2xay−≤表示的区域包含原点，不等式4axy+表示的区域不包含原点．直线4axy+=与直线2xay−=互相垂直，显然当直线4axy+=的斜率0a−时，不等式4axy+表示的区域不包含点(2,1)，故排除A；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32−，当32a−−，即32a时，4axy+表示的区域包含点(2,1)，此时2xay−表示的区域也包含点(2,1)，故排除B；当直线4axy+=的斜率32a−=−，即32a=时，4axy+表示的区域不包含点(2,1)，故排除C，故选D．优解若(2,1)A，则21422aa+−≤，解得32a，排除A；所以当且仅当32a≤时，(2,1)A．排除B，C．故选D．6例10在△ABC中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，且直线coscos0bxyAB++=与coscos0axyBA++=平行，则△ABC一定是A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形【解析】若是等腰三角形，满足AB=(A，B与C是否相等是无法确定的，根据题意给出的是A，B的关系，因此若是等腰三角形一定可得到A=B)，这时两直线重合，不满足题意，故可排除B，D；由两直线平行可得coscos0bBaA−=，可取特殊的直角三角形30A=，60B=，1a=，可知这个三角形满足题意，故可排除A．选C．【归纳总结】排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选项．74数形结合法该类问题一般通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．例11(2018年全国Ⅱ)已知集合22{(,)|3}=+ZZ≤，，Axyxyxy，则A中元素的个数为A．9B．8C．5D．4【解析】根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，Oyx-1-111易知在圆223+=xy中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．例12(2017山东)已知当[0,1]x时，函数2(1)ymx=−的图象与yxm=+的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．()0,123,+B．()0,13,+C．()0,223,+D．()0,23,+【解析】当01m≤时，11m≥，由图1知函数2()(1)yfxmx==−，在[0,1]上单调递减，函数()ygxxm==+，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f=，(0)gm=，2(1)(1)fm=−，(1)1gm=+，所以(0)(0)fg，(1)(1)fg，此时()fx与()gx在[0,1]x有一个交点；当1m时，101m，由图2知函数2()(1)yfxmx==−，在1[0,]m上单调递减，在1[,1]m上单调递增，此时(0)(0)fg，在1[0,]m无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)fg≥，即2(1)1mm−+≥，解得3m≥．选B．81mf(x)g(x)yxO11m11m1Oxyg(x)f(x)m图1图2例13已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，21()(||2fxxa=−+22|2|3)xaa−−．若xR，(1)()fxfx−≤，则实数a的取值范围为A．11[,]66−B．66[,]66−C．11[,]33−D．33[,]33−【解析】当0x≥时，222222,0(),23,2xxafxaaxaxaxa−=−−≤≤≤，又()fx为奇函数，可得()fx的图象如图所示，又xR，(1)()fxfx−≤，即()fx图像向右平移一个单位后要在原图像下方，即得22313aa−+，a66[,]66−，选B．【归纳总结】运用此法解题时一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．95正难则反法正难则反型问题是指问题的正面设置使人感到无法入手，无章可循，或从问题的正面入手，头绪繁多，难以处理，常利用问题的反面来达到解决问题的目的．例144位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A．18B．58C．38D．78常规解法由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有42=16种结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，有1242CA=8种；②每天各两人，则有24C=6种，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168P+==，故选D．正难则反法由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有42=16种结果，设“周六、周日都有同学参加公益活动”为事件A，则事件A的对立事件为“4位同学均在周六或均在周日去参加公益活动”，共2种情况，即21()168PA==，则17()188PA=−=，故选D．例15已知22()42(2)21fxxpxpp=−−−−+，