泛函分析漫谈

泛函分析漫谈郭坤宇复旦大学数学科学学院1人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而，人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然界的构成方式和法则。数学先驱为我们创造的泛函分析这门学科，打开了通向现代数学之门（M.Livio《数学沉思录》）。2泛函分析（FunctionalAnalysis）是20世纪30年代形成的一个数学分支，隶属于分析学。主要研究无限维空间（具有各种拓扑）的结构、它们之间的映射以及映射的微积分。另外，也研究各种子集的解析结构、几何结构和拓扑结构。泛函分析是一门综合性很高的数学分支,它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理的推动.由于它的高度抽象化,其概念和方法广泛地渗透和应用到数学的各个分支以及自然科学和技术科学。3　经典的泛函分析综合运用函数论、几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作数学分析、高等代数和解析几何到无限维向量空间的推广，被认为是无限维空间上的数学分析和高等代数的综合。Banach是经典泛函分析理论的一个主要奠基人;数学家、物理学家Volterra对泛函分析的广泛应用有重要贡献。现代泛函分析已演变成一个庞大的数学体系。仅就Hilbert空间上算子的研究而言，其上算子结构和性质的研究形成算子理论、其上由算子生成代数的研究又形成算子代数，就这两个密切相关的研究领域，掌握和了解这两个领域的进展和方法已变得十分困难41.从数分、高代谈起I.数学分析研究区间⟨a,b⟩上函数的连续性、可微性以及Riemann积分理论。我们见到的函数多半是初等函数和它们的复合，如y=sinx,y=ex,y=lnx,···等。这形成了数学分析中一元函数理论。5研究一个平面区域Ω上的两元函数的连续性、可微性以及重积分理论，就形成了数学分析中二元函数理论。一般地，研究实n-维空间Rn中区域Ω上的n元函数的连续性、可微性以及积分理论就形成了多元函数理论。6略过实数的构造，数学分析的起点是“函数连续性”的概念；函数连续性的概念源自“极限理论”；极限理论立足于“距离”，也称为度量。在直线R上，d(x,y)=|x−y|.在Rn上，d(x,y)=√(x1−y1)2+···+(xn−yn)2.因此，“度量”是分析数学中十分本质的概念。7度量的性质：i).d(x,y)≥0,并且d(x,y)=0iffx=y;ii).d(x,y)=d(y,x)[对称性]iii).d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)[三角不等式].8II.高等代数研究有限维空间之间的线性变换及其性质，本质上归结为矩阵理论。V是实（复）的n维线性空间，选定基{e1,···,en}后，那么VrRn,VcCn.W是m维线性空间，选定基{e′1,···,e′m}.设A:V→W是一个线性变换，Aei=ai1e′1+···+aime′m,i=1,···,n.9Ae1e2...en=a11a12...a1ma21a22...a2m............an1an2...anme′1e′2...e′m.当x=∑ni=1xiei∈V,Ax=(x1,···,xn)a11a12...a1ma21a22...a2m............an1an2...anme′1e′2...e′m..高等代数：有限维空间之间的线性变换及其性质–矩阵理论。10数学分析+高等代数=限维空间上的分析+线性代数泛函分析—数学分析+高等代数+几何到无限维空间上的推广，或者说，无限维空间上的分析+代数+几何。112.度量空间实直线上分析的许多思想可以推广到度量空间(也称距离空间)。度量空间:设X是一个非空集，X上的一个度量d:X×X→R+是指它满足以下三条公理：(i)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0iffx=y;(ii)d(x,y)=d(y,x);(对称性)(iii)d(x,z)≤d(x,y)+d(x,y).(三角不等式)数d(x,y)称x到y的度量。Rn中两点的距离是度量概念产生的原型。121.在直线R上，d(x,y)=|x−y|.在Rn上，d(x,y)=√(x1−y1)2+···+(xn−yn)2.2.在n维复空间Cn={z=(z1,···,zn):zi∈C}上,d(z,w)=√|z1−w1|2+···+|zn−wn|2.3.C[a,b]={f:f在[a,b]上连续},d(f,g)=max|f(x)−g(x)|.13极限:xn→x0⇔d(xn,x0)→0.X上的一个函数f(x)在点x0连续：limx→x0f(x)=f(x0).若f(x)在度量空间X上的每一点连续，称f(x)是X上的连续函数。分析进入了度量空间.度量空间X中一个序列{xn}称为Cauchy序列，如果对∀ε0,存在自然数N,当n,m≥N时，有d(xn,xm)ε。如果度量空间X中每个Cauchy列收敛，称X是完备的。上面的三个例子都是完备的度量空间，完备的度量空间享有许多与实直线相似的性质.141.闭集套定理：设X是完备的，并且非空闭集套F1⊇F2⊇F3⊇···满足diamFn=supx,y∈Fnd(x,y)→0,则存在唯一的点y∈∩nFn.称X的一个子集E是疏朗的(也称无处稠的)，如果E的闭包E不含任何开集。易见一个开集O在X中稠当且仅当O的补集Oc是疏朗的；一个闭集F是疏朗的当且仅当Fc是周密的开集。度量空间的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并；否则称为第二纲的。完备的度量空间享有一个深刻的结构定理－Baire纲定理。2.Baire纲定理：完备的度量空间是第二纲的。15在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的特征。读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数r(x)=1q有理数x=pq是不可约形式;0x是无理数;1x=0在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0x1,limy→xr(y)=0.）一个自然的问题是：是否在闭区间[0,1]上存在一个函数h使得它在有理点连续，无理点间断。注意到[0,1]中的无理数集是第二纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的。命题：设X是完备的度量空间，f是[0,1]上的实函数，Cf={x:f在x点连续},若Cf在X中稠密，那么Df={x:f在x点间断}是第一纲的。16在微积分的发展史上，Weierstrass（1815-1897）构造了一个处处连续但无处可微的函数，这个令人震惊的事实结束了连续函数是否总有可微点的讨论，Weierstrass的例子：设a≥3是一个奇数，b∈(0,1),且ab1+3π/2.那么f(x)=∞∑k=0bkcos(πakx)在R上是处处连续但无处可微的。一个引理：若B0,那么|cos(Aπ+Bπ)−cos(Aπ)|≤Bπ.17用Baire纲定理可推导出这一事实，并且给出更强的结论。下面的集EE={f∈C[0,1]:∀x,limy→x|f(y)−f(x)y−x|=∞}是C[0,1]一个稠密的第二纲集，E中每个函数是无处可微的。18Banach不动点定理是完备度量空间上的一个重要结果，它概括了用函数逼近法证明各类方程解的存在性与唯一性定理。设X是一度量空间，A是X到自身的映射。如果存在数α满足0≤α1,使得对一切x,y∈X成立d(Ax,Ay)≤αd(x,y)那么称A是X上的一个压缩映射。3.Banach不动点定理：完备度量空间X上的压缩映射A有唯一的不动点,即存在唯一的x∈X满足Ax=x.193.Banach空间和Hilbert空间注意到n维实欧氏空间Rn上的度量由向量x=(x1,···,xn)的模长∥x∥=√x21+···+x2n定义的，即d(x,y)=∥x−y∥.向量的模长是欧氏空间的一个基本概念。它有性质：(i)∥x∥≥0,且∥x∥=0iffx=0;(ii)∥αx∥=|α|∥x∥;(齐次性)(iii)∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥.(三角不等式)20研究无限维空间的分析方法是在它上面引入范数的概念。设X是实（复）的线性空间，如果范函∥·∥:X→R满足(i)∥x∥≥0,且∥x∥=0iffx=0;(ii)∥αx∥=|α|∥x∥;(齐次性)(iii)∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥(三角不等式)称X是赋范空间，∥x∥称为x的范数。赋范空间有自然的度量d(x,y)=∥x−y∥.如果赋范空间X在度量d(x,y)下完备，称它为Banach空间。211.设Ω是Rn(或Cn)中的一个紧子集。C(Ω)表示Ω上连续函数全体，定义∥f∥=maxx∈Ω|f(x)|.容易验证C(Ω)是一个Banach空间。2.Lp(Ω)空间:设Ω是Rn的一个有界开集。(i).当1≤p∞,定义Lp(Ω)={f是Lebesgue可测的:∥f∥p=(∫Ω|f(x)|pdV)1p∞}.(ii).当p=∞,定义L∞(Ω)={f是Lebesgue可测的:∥f∥∞=esupx∈Ω|f(x)|∞}.使用H¨older不等式，可以证明Lp(Ω)是Banach空间。22Hilbert空间:设H是复数域上的一个线性空间，如果泛函⟨·,·⟩:H×H→C满足(i)⟨ax+by,z⟩=a⟨x,z⟩+b⟨y,z⟩,[对第一个变量线性](ii)⟨x,y⟩=⟨y,x⟩,[共轭对称性](iii)⟨x,x⟩≥0,若⟨x,x⟩=0,则x=0.[正定性]称这样的H为一个内积空间。内积空间自然是一个赋范空间，其范数为∥x∥=⟨x,x⟩12。若在此范数下，内积空间是完备的，称为Hilbert空间。23Hilbert空间的一个核心概念是正交性。如果⟨x,y⟩=0,称它们正交的，记为x⊥y。Riesz-Fischer定理：Hilbert空间H存在正交基{eλ},即∥eλ∥=1,eλ⊥eλ′(λ,λ′),且对每个x∈H,x有Fourier展式x=∑λ⟨x,eλ⟩eλ.因此，⟨x,y⟩=∑λ⟨x,eλ⟩⟨y,eλ⟩.进一步，任何两正交基是酉等价的。投影定理:设H是Hilbert空间，S是H的一个闭凸子集，x∈H。那么存在唯一的¯x∈S使得dist(x,S)=infy∈S∥x−y∥=∥x−¯x∥.241.Hilbert空间Cn;⟨z,w⟩=n∑i=1zi¯wi.e1=(1,0,···,0),···,en=(0,0,···,1)}是Cn的正交基。2.Hilbert空间L2(T),⟨f,g⟩=∫2π0f(eiθ)g(eiθ)dθ/2π,具有正交基en=einθ，n=0,±1,±2,···。3.单位圆盘D={z∈C:|z|1}上的Bergman空间L2a(D):L2a(D)={f(z)在D上解析:∥f∥2=1π∫D|f(z)|2dA(z)∞}.L2a(D)是一个Hilbert空间，内积为⟨f,g⟩=∫Df(z)g(z)dA(z),它有一个典型的正交基en(z)=√n+1zn,n=0,1,2,···.254.线性泛函对一个赋范空间X，其上的函数称为泛函，这样的称呼源自于其自变量x∈X可能是很抽象的，如取X=Lp(Ω),自变量是函数。研究赋范空间X上一般的泛函是不可能的，就像研究Rn上一般的函数一样。Rn上最简单的函数是线性函数，即满足：f(ax+by)=af(x)+bf(y),这时f必有形式f(x)=a1x1+···+anxn.显然，Rn上的线性函数是连续的。26考虑复的赋范空间X上的线性泛函f:X→C,即满足：f(ax+by)=af(x)+bf(y).下面的例子表明线性泛函未必是连续的。设P是复平面上复多项式全体,p∈P,定义∥