高中数学不等式练习题

高中数学不等式练习题1/24高中数学不等式练习题一．选择题（共16小题）1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．3C．5D．94．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．95．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．66．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．37．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3B．0C．D．3高中数学不等式练习题2/249．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣310．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（）A．1B．C．2D．211．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cbB．ac＜bcC．D．logac＞logbc12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．213．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6B．C．D．14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35B．105C．140D．21015．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8D．1616．已知两正数x，y满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D．二．解答题（共10小题）17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B；高中数学不等式练习题3/24（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．19．解不等式：≥2．20．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．21．（1）已知实数x，y均为正数，求证：；（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．22．已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．23．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．24．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．25．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．26．某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．羊毛颜色每匹需要/kg供应量/kg布料A布料B高中数学不等式练习题4/24红331050绿421200黄261800已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数．（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．高中数学不等式练习题5/24高中数学不等式练习题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．高中数学不等式练习题6/24【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2017•北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．3C．5D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得高中数学不等式练习题7/24A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．4．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y的最小值是：﹣15．故选：A．高中数学不等式练习题8/24【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．5．（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为zmax=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．高中数学不等式练习题9/246．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．7．（2017•新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．高中数学不等式练习题10/24【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．8．（2017•大石桥市校级学业考试）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3B．0C．D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，高中数学不等式练习题11/24A（0，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（2017•天津学业考试）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，为﹣1．高中数学不等式练习题12/24故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（2017•明山区校级学业考试）若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意，首先由ab＞0可得＞0且＞0，进而由基本不等式可得+≥2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，则＞0且＞0，+≥2=2，即+的最小值是2；故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件．11．（2017•资阳模拟）已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cbB．ac＜bcC．D．logac＞logbc【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=xc，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a高中数学不等式练习题13/24﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．12．（2017•全国模拟）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2B．2C．4D．2【分析】利用对数的运算法