4.2.1直线与圆的位置关系之弦长问题(课件)

上午12时15分路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修2临澧一中数学组林祖成4.2.1直线与圆的位置关系-----弦长问题数学·人教A版·必修2课前自主回顾研究直线与圆位置关系的两种方法相交位置关系图形几何特征方程特征判定方法几何法代数法有两个公共点有两个不同实根dr△0相切有且只有一个公共点有且只有一个实根d=r△=0相离没有公共点无实根dr△0数学·人教A版·必修2课前自主回顾求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A,B两点，设弦心距d,圆的半径r，弦长为|AB|,则有222||2ABdr，即22|AB|2rdCABD知二求一数学·人教A版·必修2课前自主回顾求直线与圆相交时弦长的两种方法(2)代数法：如图2，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1)B(x2,y2)，则221212212221212|AB|()()1||1()4xxyykxxkxxxxCA(x1,y1)lB(x2,y2)数学·人教A版·必修2xyOAB解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）21221(1)d设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则dr422yx例1．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.D思路方法技巧22||214ABrd数学·人教A版·必修2解法二：（求出交点利用两点间距离公式）422yx22212121422301717,221717,2217171717(,),(,)2222||14yxyxyxxxxyyABAB由消去得例1．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.xyOAB(x1,y1)(x2,y2)思路方法技巧数学·人教A版·必修2解法三：（弦长公式-----韦达定理）22212122212122214223031,2||(1)[()4]3(11)[(1)4()]142yxyxyxxxxxxABkxxxx由消去得422yx例1．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值xyOAB(x1,y1)(x2,y2)思路方法技巧数学·人教A版·必修2例2.圆心为(2,1)的圆截直线:34170lxy所得的弦长为8,求圆的方程.解（1）圆心(2,1)到直线34170xy的距离22|6417|334dCABD思路方法技巧（2）弦长22||2ABrd,2228252rd所以圆的标准方程为22(2)(1)25xy数学·人教A版·必修2dxOClM(-3,-3)解设直线l的方程为:y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.224210xyy，22(2)25.xy圆心C(0,-2),半径r=5.5.d弦心距由题意知又C到直线l的距离为290,230.xyxy所求直线方程为：或222|233||31|11kkdkkr=5例3.过点(3,3)M的直线l被圆22:4210Cxyy所截得的弦长为45,求直线l的方程.思路方法技巧数学·人教A版·必修2【变式1】.过点(3,3)M的直线l被圆22:4210Cxyy所截得的弦长为8,求直线l的方程.析：22|31|3|31|311kdkkk由得xOClA43k所以所以所求直线方程：43(3)3yx43+210xy即M错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。D思路方法技巧思考：满足题意的直线仅此一条？d=3x=-3数学·人教A版·必修2【变式1】.过点(3,3)M的直线l被圆22:4210Cxyy所截得的弦长为8,求直线l的方程.析：22|31|3|31|311kdkkk由得xOClA43k所以所以所求直线方程：43(3)3yx43+210xy即MD思路方法技巧d=3x=-3（1）当斜率不存在时，直线方程x=-3,此时d=3,合题意由42+d2=52.得d=3（2）当斜率存在时，y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.设直线l的方程为:综上所述，x=-3或4x+3y+21=0思考：相交时，所求直线一定有两条？若不是，与什么元素有关？数学·人教A版·必修2【变式2】过点(3,3)M的直线l被圆22:4210Cxyy所截(1)求截得的最长弦所在的直线方程；(2)求截得的最短弦所在的直线方程.xOCM析：(1)因为圆内直径是最长的弦，所以直线被圆所截最长的弦过圆心过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线13MCk所求直线方程为：x-3y-6=0思路方法技巧数学·人教A版·必修2【变式2】过点(3,3)M的直线l被圆22:4210Cxyy所截(2)求截得的最短弦所在的直线方程.xOCM析：思路方法技巧DlCM当时，弦心距d最大，从而让所截得弦长最短.13CMk直线CM的斜率为所求直线l方程33(3)yx即3120xy22|AB|2rd数学·人教A版·必修2【练习】已知直线:2830lmxym和圆22:612200Cxyxy(1)mR时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得弦长最值，求此弦长.课堂基础巩固析(1):32(4)lymx过定点M(4,-3)因为224(3)6412(3)20150所以M(4，-3)在圆内从而过M的直线l总与圆C相交数学·人教A版·必修2【练习】已知直线:2830lmxym和圆22:612200Cxyxy(1)mR时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得弦长最值，求此弦长.课堂基础巩固析：lCM当时，所截得弦长最短.22:(3)(6)25Cxy圆心C(3,-6)半径r=5弦长最小值为222||215rCM当l过C时，所截得弦长最长.且为10数学·人教A版·必修2课堂小结，作业布置（一）知识1.掌握求直线被圆所截得的弦长的几何法和代数法；2.灵活应用直线与圆的弦长公式.（二）方法1.数形结合的思想；2.分类讨论的思想.作业教材P1283，4P144B组4数学·人教A版·必修2