变形及刚度计算

第八章变形及刚度计算第八章变形及刚度计算主讲教师：余茜§8—1轴向拉伸杆的变形§8—2圆轴扭转时的变形和刚度计算§8—3梁的变形及刚度计算§8—4简单超静定问题目录第二章轴向拉伸和压缩§8-1轴向拉压杆的变形§8-1轴向拉压杆的变形FF一、轴向拉压的变形分析FFl0llΔl1＞1ll1ld1dd1d轴向拉伸：纵向伸长、横向缩短纵向伸长量：横向缩短量：0ddΔd1＜0llΔl1＜轴向压缩：纵向缩短、横向伸长纵向缩短量：横向伸长量：0ddΔd1＞注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。FFFFl1ll1ld1dd1dllΔl11、纵（轴）向变形量：2、横向变形量：ddΔd1二、线应变轴向线应变：线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变。lΔlε横向线应变：dΔdε3、线应变的符号约定：与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。§8-1轴向拉压杆的变形上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量l，与轴力FN和杆长l成正比,与EA成反比。lEAFlEσεlΔlNEA——抗拉（压）刚度§8-1轴向拉压杆的变形σAFNEεσ由胡克定律且轴向线应变：lΔlεEAlFΔlNEAlFΔlNE——弹性模量EA——抗拉（压）刚度l表示长为l的杆件在轴力FN的作用下的伸长量或缩短量条件：杆件在l长范围内EA和FN均为常数。EA(x)(x)dxFΔ(dx)NlNlEA(x)(x)dxFΔ(dx)ΔLn1iiiiNEAlFΔL当EA和FN在杆长范围内分段为常数时N（x）xdx(x)FN–++FN图当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时§8-1轴向拉压杆的变形三、泊松比当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。FFb1h1bh横向线应变：bΔbbbbhΔhhhhε11lΔlε纵向线应变：实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：μεε——称为泊松比，量纲为一——负号表示纵向与横向变形的方向总是相反l1l§8-1轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kN21250mmA22200mmAABCDE1m2m3m1m。求杆的总变形。弹性模量材料的积，受力如图。已知杆的长度、截面面例MPa10125.E解：用直接法画轴力图EAlFΔLΔLΔLΔLΔLΔLNDECDBCABiAE分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和。又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形。FN图§8-1轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kN21250mmA22200mmAABCDE1m2m3m1m。求杆的总变形。弹性模量材料的积，受力如图。已知杆的长度、截面面例MPa10125.E解：用直接法画轴力图EAlFΔLΔLΔLΔLΔLΔLNDECDBCABiAEFN图0.762mm250102.11011040ΔL533AB0.381mm250102.11021010ΔL533BC0.238mm200102.11011010ΔL533CD§8-1轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kN21250mmA22200mmAABCDE1m2m3m1m。求杆的总变形。弹性模量材料的积，受力如图。已知杆的长度、截面面例MPa10125.E解：用直接法画轴力图EAlFΔLΔLΔLΔLΔLΔLNDECDBCABiAEFN图1.572mm1.4290.2380.3810.762ΔLAE1.429mm200102.11031020ΔL533DE即杆被压短了1.572mm§8-1轴向拉压杆的变形下的伸长量。。求自重作用长抗拉刚度等直杆容重为例lEA,,ayqy(y)FNyqLqEA11GAlqlbc解：把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝γA任意取一个截面1－1，画受力图。轴力qy(y)FN在1－1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN§8-1轴向拉压杆的变形下的伸长量。。求自重作用长抗拉刚度等直杆容重为例lEA,,ayqy(y)FNyqLqEA11dyc2EAGL2EALγAL2EAγALΔL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFΔLdN2EAγAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdΔL22L0LNL§8-1轴向拉压杆的变形ayqy(y)FNyqLqEA11dyc2EAGL2EALγAL2EAγALΔL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。LEAG令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为EAGLLΔ1ΔLΔL2§8-1轴向拉压杆的变形§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算一、扭转变形——扭转角——抗扭刚度扭率：pTGIMθ单位长度扭转角（扭率）描述了扭转变形的剧烈程度pGI扭转角：dxGIMθdxl0pTl单位：radpTGIlM一、扭转变形——扭转角扭转角：dxGIMθdxl0pTl当在杆长l内扭率为常数时单位：rad当在杆长l内扭率分段为常数时，用求和公式piiiTiIGlM§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算二、刚度条件θGITθp以度每米为单位时以弧度每米为单位时θπ180GITθp许用单位长度扭转角三、刚度条件的应用（1）校核刚度（2）设计截面（3）确定荷载rad/m/m§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用切应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角[]=0.8°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：强度校核MPaWMpT6.301611010836222MT图12MPaWMpT2.36167510336111MPa2361.max满足强度条件分析：虽然MTABMTBC，但BC段的截面面积也大于AB段的截面面积，所以要分段分别校核。[]=40MPa+8KN.m3KN.m刚度校核MT图满足刚度条件opTGIM180111mGIMoopT/40.032110.01080180108180493222mo/..6903207501080180103493[]=40MPa，[]=0.8°/m，G=80GPa例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的倍？16dπMWMτ3TpTmax32dπGlMIGlM4TpT81616dπM8116)2d(πMWMτ3T3TpTmax例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为Ｔ1)α(116DπT)α(116DπT434311由2DD)0.5(14πD2)0.5(14πD122221得由2.8282DDTT3/2311得一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，xy平面为纵向对称平面§8—3梁的变形及刚度计算BxyAyABx1、挠度（y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度度量梁变形后横截面位移的两个基本量BC'C一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数，称为挠度方程，记做y=y（x）yABx2、转角（）：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴转动的角度）,称为该截面的转角。转角y挠度C'CB度量梁变形后横截面位移的两个基本量一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的函数，称为转角方程，记做=（x）3、挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为)(xyy式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。yABx转角y挠度C'CB挠曲线一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）——挠度方程tgyABx转角y挠度C'CB挠曲线4、挠度和转角的关系)(''xyyy即该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的一阶导数挠度：向下为正，向上为负。转角：自x转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。yABx转角y挠度C'CB挠曲线5、挠度和转角的符号约定zEIM11zEIxMx)()(剪力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为二、挠曲线的近似微分方程23211)'('')(yyx由几何关系知,平面曲线的曲率可写作zEIxM)(2321)'(''yy由以上两式，得MMoxyMM0yM0M00y在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向下为正；而弯矩是下侧受拉为正。曲线向上凸时：y''0,M0曲线向下凸时：y''0,M0因此,M与y''的正负号相反oxy推导公式zEIxM)(2321)'(''yyzEIxMyy)()'1(''232二、挠曲线的近似微分方程zEIxMy)(此式称为梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了y'2项。'2y与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为推导公式zEIxMyy)()'(''2321二、挠曲线的近似微分方程三、用积分法求梁的变形zEIxMy)(梁的挠曲线近似微分方程（一）、公式推导再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程CM(x)dxy'EIθEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中C、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定。AB0yA0yB0yA0θAAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA和yB都应等于零（边界）；C左、C右截面的饶度、转角相等（变形连续光滑）。在悬臂梁中，固定端处的挠度yA和转角A都应等于零。（二）、位移边界条件和变形连续条件位移边界条件：yA＝0，yB＝0位移边界条件：yA＝0，A＝0注意：位移边界条件在支座处变形连续条件中间在分段点变形连续条件：CyyCC2121CCyC1＝yC2，C1＝C2三、用积分法求梁的变形注意当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。ABFDabl三、用积分法求梁的变形1、正确分段，分别列弯矩方程；2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程；3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。步骤注意：1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处；2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方