3.2.2.1 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例

3.2.2函数模型的应用实例第1课时一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例(2)尝试运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高学生的数学建模能力.(3)了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的应用意识,提高学习数学的兴趣.(1)初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的实际应用问题.实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解抽象概括推理演算还原说明使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：例1.一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系如图所示908070605040302010v/(km/h)t/h012345(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应的图象.解：（1）阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.501801901751651360(2)根据图示,可以得到如下函数解析式50t2004,0t1,80(t1)2054,1t2,s90(t2)2134,2t3,75(t3)2224,3t4,65(t4)2299,4t5.st这个函数的图象如图所示。12345o某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速vkm/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.它的图象如图：60t,0t2.5,x150,2.5t3.5,15050(t3.5),3.5t6.5.解:开车离开A地的距离与时间t（h）之间的关系：60,0t2.5,v0,2.5t3.5,50,3.5t6.5.车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：它的图象如图：例2：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元）6789101112日均销售量（桶）480440400360320280240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480-40（x-1)=520-40x（桶）由于x0,且520-40x0,即0x13,于是可得y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0x13.易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.练习：某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为多少元?思路分析:1.此题己知条件中相关的新概念的含义是什么?利润指企业销售产品的收入扣除成本价格的余额。=销售价×总销售量-进货价×总进货数利润=销售总量(元)-进货总价(元)2.求什么?商品的销售价（即商品的定价）解:设商品的定价为(10+x)元,日利润为y元则每日利润=日销售总价(元)-日销售的进货总价(元)=销售价格×日销售量-进货价格×进货量=(原销售价+提高价)×(50-5乘以提高价)(x为提高的价格)-8乘以(50-5提高价)答:即商品定价为10+4=14(元)时,日利润最大.y有最大值180(元)当x=4(元)时,依上可知:y(10x)(505x)8(505x)25x40x10025(x4)180为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保证完成全部任务最快？完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或最小。思路分析：制100张课桌所需时间为函数100f(x)7x制200把椅子所需时间为函数200g(x)10(30x)解：设x名工人制作课桌，名工人制作椅子，由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么(30x)则完成全部任务所需时间t(x)maxf(x),g(x)当时，用时最少，f(x)g(x)即取得最小值.t(x)maxf(x),g(x)100200710(30)xx由12.5x解得*xN因为考查与t(13)t(12)200g(12)1.1110(3012)所以t(12)1.19,100f(12)1.19712100f(13)1.09,713t(13)1.18所以t(12)t(13)因为所以时用时最少。x13答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快。200g(13)1.1810(3013)因为解函数应用题的方法和步骤：1．审题:（1）设出未知量;（2）找出量与量的关系.2．建摸:建立函数关系式.3．求解:用数学方法解出未知量.4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答.实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解抽象概括推理演算还原说明其流程为信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴也会折射出绚丽的色彩。