3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则高二数学选修1-1第三章导数及其应用可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.()(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1)lnxxxxafxcfxfxxQfxxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且;18.()ln,'();fxxfxx公式若则导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx由法则2:()'()()()CfxCfxCfxCfx例2:求下列函数的导数:3224(1)2312(2);(3);1(4)tan;1(5);(6);yxxyxxxyxyxyxyxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx2314(2);yxx54(5);yx3(6);2yx题型一:导数公式及导数运算法则的应用练习:求下列函数的导数:(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);(3)y=x-1x+1;(4)y=x·tanx.解:(1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′=(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′解:(2)法一:y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′=5x4-9x2-10x.=4x(3x-2)+(2x2+3)·3解:(2)法二:∵y=(2x2+3)·(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,=18x2-8x+9.∴y′=18x2-8x+9.解:(3)法一:y′=(x-1x+1)′练习:求下列函数的导数:(3)y=x-1x+1;(4)y=x·tanx.=x-1′x+1-x-1x+1′x+12解:(3)法二:∵y=x-1x+1=x+1-2x+1=x+1-x-1x+12=2x+12.∴y′=(1-2x+1)′=1-2x+1,=-2′x+1-2x+1′x+12=(-2x+1)′=2x+12.练习:求下列函数的导数:(3)y=x-1x+1;(4)y=x·tanx.解:(4)y′=(x·tanx)′=(xsinxcosx)′=xsinx′cosx-xsinxcosx′cos2x=sinx+xcosxcosx+xsin2xcos2x=sinxcosx+xcos2x.练习:求下列函数的导数(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=exsinx;(3)y=x+3x2+3.解:(1)∵y=x(x2+1x+1x3)=x3+1+1x2,解:(2)y′=(exsinx)′=(ex)′sinx+ex(sinx)′∴y′=3x2-2x3.解:(3)y′=(x+3x2+3)′=x+3′x2+3-x+3x2+3′x2+32=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx).=x2+3-x+3×2xx2+32=-x2-6x+3x2+32.3:5284(80100).100xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为:c(x)=求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%;(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284'(100)5284(100)''())'100(100)xxcxxx=(25284(100)x20(100)5284(1)(100)xx25284'()(100)cxx.8纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率是524元/吨。25284(1)'(90)52.84(10090)c纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。25284(2)'(98)1321(10098)c例4:已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解:(1)y′=2x+1.题型二:导数的综合应用∴直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,所以直线l2的方程为y=-13x-229.则有2b+1=-13,b=-23.(2)解方程组y=3x-3,y=-13x-229,得x=16,y=-52.所以直线l1和l2的交点坐标为(16,-52).l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(-223,0).所以所求三角形的面积为S=12×253×|-52|=12512.练习:点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.解:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,∵y′=(ex)′=ex,即y′|x=x0=1.∴ex0=1,得x0=0,代入y0=ex0,得y0=1,利用点到直线的距离公式得距离为22.即P(0,1).例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?441t解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.