方向向量与法向量

3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lAPa１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量APta一、方向向量与法向量1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．平行或共线例1:已知长方体ABCD—A’B’C’D’的棱长AB=2,AD=4,AA’=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).),30,0(')1(AA).30,0(''AAdAA的一个方向向量是直线).3,0,4()2('CBd).3,2,4()3('CAd).3,2,4()4('DBd1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)【解析】AB→＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】A2．(2014·济宁高二质检)已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为()A．6和－10B．－6和10C．－6和－10D．6和10【解析】因为a与b平行，∴42＝x－3＝y5，解得x＝－6，y＝10.【答案】B例2:已知所有棱长为的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.aABCDEFxyz(O)解:建系如图,则B(0,0,0)、).0,2,23()0,,0(aaCaD、),0,2,63().0,2,0(.aaFaEBCDFBDE则的中心是等边的中点，为设,3632222aaaCFACAF).36,2,63(aaaABEFxyz(O)).36,2,63(aaaA)0,,0(aD).0,2,23(aaC);0,1,0(BDd);0,1,3(BCd);0,1,3(CDd);22,3,1(BAd);20,1(ACd).22,3,1(ADd2、平面的法向量AalP平面α的向量式方程0aAP换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的a，则a叫做平面α的法向量.方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：叫做那么向量垂直，面如果它所在的直线与平对于非零的空间向量nn,.的一个法向量平面例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’234).1,0,0(1n）解：（xyzABCDA’B’C’D’234则的一个法向量为设平面),,('')2(wvunAACC.00''ACnAAnACnAAn),0,2,4(),30,0('ACAA020002)4(0)3(00vuwwvuwvu,21vu取).0,2,1(''nAACC的一个法向量平面xyzABCDA’B’C’D’234的一个法向量，是平面设'),,()3(ACDwvun0'0'ADnACnADnACn),3,0,4('),0,2,4(ADAC.342034024uwuvwuvu,4,6,3wvu得取).4,6,3('nACD的一个法向量平面3．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)【解析】同一个平面的法向量平行，故选D.【答案】D例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n·a＝0，n·b＝0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组n·a＝0，n·b＝0有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：图3­2­2(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【解】设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC→＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)DB→＝(2,2,0)，DE→＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴n·DB→＝0，n·DE→＝0，∴2x＋2y＝0，x＋2z＝0，∴y＝－x，z＝－12x.令x＝2得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.求平面向量的法向量已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．图3­2­1(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．【思路探究】(1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【解】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D12，0，0，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS→＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD→＝12，0，0是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，DC→＝12，1，0，SC→＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC→，n⊥SC→.所以n·DC→＝0，n·SC→＝0，得方程组12x＋y＝0，x＋y－z＝0.∴x＝－2y，z＝－y，令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题二、立体几何中的向量方法——证明平行与垂直设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(1)//lm//abab；mlab（一）.平行关系：a设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uαaAC②∥axAByAD③(2)//l①au0au；vuαβ设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3)//①//uv.uvu(1)lm0abab（二）、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lmab设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//auaulauABC设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则3（）0uvuvαβuv设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行四、平行关系：111222(,,),(,,),laabcuabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lauaabbcc设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直五、垂直关系：111222222,,0,//abcabcauabc当时111222(,,),(,,),aabcuabc若则121212//,,.lauakuakabkbckc例1四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)32AE=FGAE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AEFG几何法呢？例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG法1几何法ABCDPEXYZG法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),11(0,,)22APE依题意得G11(,，0)2211(1,0,1),(,0,)22PAEGEGPAEGPA//2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，//ABCDPEXYZ法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是0PAnPAnXYZABCDPE法4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)PAxDEyDB设解得x＝－２,ｙ＝１2PADEDB即PADEDB于是