13.2.1线段的垂直平分线的性质(第1课时)

八年级数学·上新课标[人]第十三章轴对称学习新知检测反馈探究一：线段垂直平分线的性质如图所示,直线L垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.上述的问题可以利用两个三角形全等的方法证明这个性质吗？数学语言可以这么表示：已知：MN⊥AB，垂足是点C,，AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证：PA=PB.图中有两个直角三角形,△APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.探究一：线段垂直平分线的性质证明:在△APC和△BPC中,PC=PC(公共边),∠PCB=∠PCA(垂直定义),AC=BC(已知),∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等。探究二：线段的垂直平分线的判定1.你能写出上面这个命题的逆命题吗?它是真命题吗？如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。这个逆命题数学语言可以这么表示：已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,在Rt△APC和Rt△BPC中,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.从推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定.知识小结1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思.(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.1．如图所示,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为()A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm检测反馈解析:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8(cm),∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.B2．如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.CA平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC解析:∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,EB=DE,在Rt△BCE和Rt△DCE中,𝐵𝐸=𝐷𝐸,𝐵𝐶=𝐶𝐷,∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL),∴∠BCE=∠DCE,∴CA平分∠BCD.故选C.C3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是()A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,1803672,2ABCC∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故A正确;△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正确;∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故C正确;∵BDCD,∴ADCD,∴点D不是线段AC的中点,故D错误.故选D.3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是()A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点D4.如图所示,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周长.解析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进而可得出结论.解:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm,又∵AB=10cm,∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21(cm).必做题教材第62页练习第1,2题.选做题教材第64页习题13.1第6题.布置作业过渡语：写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.如何证明？又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB,∴P点在AB的垂直平分线上.证法2:取AB的中点C,过P,C作直线.∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).证法3:过P点作∠APB的平分线,∵PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,∴P点在AB的垂直平分线上.学习新知观察思考为方便居民的出行,准备在小河上修建一座桥.为了让A和B两个社区的居民到桥的距离都相等,建桥的位置应该选在哪?