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12.3探索三角形全等的条件（1）—SAS（边角边）三、对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中有三个元素对应相等，两个三角形全等吗？有几种情况？两边一角；两角一边；三角，三边两边一角如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，分为两种情形.边－角－边边－边－角ＡＡＡ'Ａ'ＢＢ'ＢＢ'ＣＣＣ'Ｃ'两边夹一角两边一对角如图19.2.2，已知两条线段和一个角，以这两条线段边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．步骤：1画一线段AB，使它等于4cm；2画∠MAB＝45°；3在射线AM上截取AC＝3cm；4连结BC．△ABC即为所求．在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′\\\CAB\\\C′A′B′说明这两个三角形全等三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF1、根据题目条件,判断下面的三角形是否全等.(1)AC=DF,∠C=∠F,BC=EF(2)BC=BD,∠ABC=∠ABDABCFDABCD(全等)(全等)(1)(2)1、根据题目条件,判断下面的三角形是否全等.(1)AC=DF,∠C=∠F,BC=EF(2)BC=BD,∠ABC=∠ABDABCD(1)(2)E2、如图：AB=AD，∠BAC=∠DAC，△ABC和△ADC全等吗？为什么？ADCB如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？DCBAABDABCABDABC两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等两边和其中一边的对角如图：在△ABD和△ABC中但△ABC与△ABD明显不全等AC=ADAB=AB∠B=∠BDCBA用“两边一角”证明三角形全等时，那个“角”必须是“两边”的夹角例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．ABCD证明:∴∠BAD＝∠CADAD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∵AD平分∠BAC在△ABD与△ACD中∵AB＝AC（已知）∠BAD＝∠CAD（已证）研究例题由△ABD≌△ACD，还能证得∠B＝∠C，即证得等腰三角形的两个底角相等这条定理．摆齐根据指明范围准备条件写出结论2、已知：如图，AD∥BC,AD=CB.求证:△ADC≌△CBAABCD12证明：∵AD∥BC∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)在△ADC和△CBA中AD=CB（已知）∵∠1=∠2(已证）AC=CA(公共边)∴△ADC≌△CBA(S.A.S.)FABDCE例3：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF求证：△AFD≌△CEB分析：证三角形全等的三个条件两直线平行，内错角相等∠A=∠C边角边AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）BE=DF证明：∵AD//BC∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE∴△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE摆齐根据写出结论FABDCE指明范围准备条件(已知）(已证）(已证）（1）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，FD⊥AD，垂足分别是A，D。求证（1）△EAB≌△FDC（2）BE=CFAEBCDF∟∟90°想一想（2）已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证:(1)△ABD≌△ACE(2)CE=BD证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB即∠DAB=∠EAC在△ABD和△ACE中，AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）ACBED1234（3）已知BD=CE、AD=AE,∠1=∠2,求证（1）△ABD≌△ACE（2）AB=AC、4、已知：点O分别是AD、BC的中点求证：AB∥CDABCD∵点O分别是AD、BC的中点∴AO=DO,BO=COO在△AOB和△DOC中AO=DO（已证）∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）BO=CO（已证）∴△AOB≌△DOC（SAS）∴∠B＝∠C∴AB∥CD证明：5、已知:四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CB.求证:AB＝CD.1、问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。有什么办法能得到AB的距离呢？ABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连结AC并延长至D使CD=CA连接BC并延长至E使CE=CB连接ED，那么量出ED的长，就是A、B的距离.为什么？12生活中的应用问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。有什么办法能得到AB的距离呢？ABCED12生活中的应用在△ABC与△DEC中CA=CD,∠ACB=∠DCE,CB=CE∴△ABC≌△DEC（SAS）∵∴AB=DE拓展练习AECBD1如图，A、B、C三点在一条直线上，DA⊥AC，EC⊥AC，AB=CE，AD=CB.求：∠DBE的度数.EBCEA2如图，A、B、C三点在一条直线上，AD=AE，AC平分∠DAE，图中有多少对全等三角形？证明你的结论.D课堂小结：证明三角形全等的过程1、准备条件2、指明范围3、摆齐根据4、写出结论