2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第三章 3.3.1函数的单调性与导数

本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.13．3.1函数的单调性与导数【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)0单调递f′(x)0单调递f′(x)＝0常函数增减填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.答案(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)0.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1问题2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝10，y(x)是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x0，y(x)是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－1x20，y(x)是减函数.小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1问题3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答案由问题2中(3)知f′(x)≥0恒成立.问题4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题2中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答案(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.问题2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1x4时，f′(x)0；当x4，或x1时，f′(x)0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解当1x4时，f′(x)0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f′(x)0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1小结本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(ex－1)－x2；(2)f(x)＝3x2－2lnx.解(1)f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得－33x0或x33.又∵x0，∴x33.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得x－33或0x33.又∵x0，∴0x33.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).小结求函数的单调区间的具体步骤是(1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)求出f′(x)＝0的根(也可以直接解f′(x)0和f′(x)0)；(4)用f′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝exx－2；(3)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x2π).解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝2x－1x＝2x－12x＋1x.因为x0，所以2x＋10，由f′(x)0得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)0得x22，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1(3)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1).因为0≤x2π，所以cosx＋1≥0，由f′(x)0得0xπ3或5π3x2π；由f′(x)0得π3x5π3，故函数f(x)的单调递增区间为0，π3，5π3，2π，单调递减区间为π3，5π3.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1例3如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.解(1)→B(2)→A(3)→D(4)→C研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1小结通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1解析从f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋b2内，导数递增；在区间a＋b2，b内，导数递减.即函数f(x)的图象在a，a＋b2内越来越陡峭，在a＋b2，b内越来越平缓.答案D研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.11.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数D.在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数解析∵f′(x)＝1＋1x0，∴函数在(0,6)上单调递增.A练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.12.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知，当x0时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f′(x)0，即f(x)为减函数；当x2时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.13.函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调增区间为()A.0，1aB.1a，＋∞C.(0，＋∞)D.(0，a)解析f(x)的定义域为{x|x0}，由f′(x)＝1x－a0，得0x1a.A练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.14.(1)函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为__________.解析y′＝2x－4，令y′0，得x2；令y′0，得x2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).练一练·当堂检测、目标达成落实处(2，＋∞)(－∞，2)本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1所以f(x)＝x3－x的增区间为－∞，－33和33，＋∞，减区间为(－33，33).练一练·当堂检测、目标达成落实处解析y′＝3x2－1，令y′0，得x33或x－33；(2)函数f(x)＝x3－x的增区间为，减区间为______________.－∞，－33和33，＋∞－33，33令y′0，得－33x33，本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.11.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本讲栏目开关填一填研一研练一练