向量的概念及基本运算

向量的基本概念与运算2020/7/21平面向量复习运算向量加法与减法平行四边形法则平行的充要条件平面向量的基本定理三角形法则向量及相关概念向量的数量积垂直的充要条件实数与向量的积平面向量共线向量定理2020/7/22向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。(2)零向量：(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.1.向量及相关概念(1)向量的模：向量的大小也就是向量的长度称为向量的模.长度为0的向量，记作.02020/7/23例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由(1)若与同向，ba且,ab则ab(2)对于任意向量则abba,ab且与方向相同，(3)所有的单位向量都相等.(╳)(√)(╳)例题分析2020/7/24(5)向量与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.CDAB(6)如果，，则.ba∥cb∥ca∥(╳)(╳)(4)零向量与任意向量都平行.(√)2020/7/25（1）向量的加法几何运算：三角形法则2.向量的基本运算AB平行四边形法则COABAB+BCACOAOBOC1122(,),(,)axybxy设C代数运算：ab则1212(,)xxyy2020/7/26（2）向量的减法2.向量的基本运算OAB几何运算：代数运算：三角形法则BAOAOB1122(,),(,)axybxy设ab则1212(,)xxyy2020/7/272.向量的基本运算(3)a实数与的乘积几何意义：坐标表示：①a是一个向量,②0;a,a与同向时,00a时实质就是向量的伸长与缩短(,),axya若则(,)xyaa且0;a,a与反向时2020/7/282.向量的基本运算（4）两个非零向量的数量积ab几何意义：坐标表示：a与ab在的方向上的投影cosb的乘积1122(,),(,)axybxy设ab1212xxyycosab2020/7/293.平面向量之间的关系（1）两个向量相等的两种形式①ab则abab且与方向相同1122(,),(,)axybxy若②ab1212,xxyy且2020/7/2103.平面向量之间的关系(2)向量平行(共线)充要条件①②a(0)bb∥ab1122(,),(,)axybxy若则ab∥12210xyxy有且只有一个实数使得2020/7/2113.平面向量之间的关系(3)两个非零向量垂直的充要条件①②ab⊥0ab1122(,),(,)axybxy若则ab⊥12120xxyy2020/7/212例2.已知＝(1，2)，＝(－3，2)，①当k为何值时，与垂直？②当k为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向?abkab3abkab3ab例题分析2020/7/21312ee、例3.已知向量不共线，求实数的值.12ee12ee②若向量与共线，求证：A、B、D三点共线；12ABee1228BCee1233CDee①若，，;提示:①BDBCCD125()ee5ABAB∥BDABBD又与有公共点B∴A、B、D三点共线2020/7/214提示:12ee、例3.已知向量不共线，求实数的值.12ee12ee②若向量与共线，求证：A、B、D三点共线；12ABee1228BCee1233CDee①若，，;②若向量与共线12ee12ee∴存在实数使k12eek12（e-e）1kk根据向量相等的条件2020/7/21512ee、例3.已知向量分别是直角坐标系内与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，提示:(1,1)AB求实数的值.12ee12ee②若向量与共线，求证：A、B、D三点共线；12ABee1228BCee1233CDee①若，，;(2,8)BC(3,3)CD2020/7/2164.平面向量基本定理平面向量的基本定理1122aee如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使12,ee,,21a12,ee不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2020/7/217.例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，CAaCBbabCP若，，试用、表示.BACDNP例题分析2020/7/218OAOBOBOC()0OBOAOC0OBCAOBCA⊥2.分析：BCAO同理可证：OCAB⊥OABC⊥2020/7/219ACABADab11()44CNACabMNMCCN11()24bab分析：5.1()4ba（5题图）DBAMCN2020/7/220总结**正确理解概念的基础上，掌握两个向量的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟练运用向量的几何形式与代数形式进行运算，**理解共线向量定理、平面向量的基本定理，并能简单应用，解题时注意数与形的结合.2020/7/221教学目标：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示；(2)掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算及代数运算；(3)了解共线向量的概念，理解两个向量共线的充要条件；(4)掌握平面向量的数量积定义和两个向量垂直的充要条件；(5)理解平面向量的基本定理，并能简单运用.2020/7/222