2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.2.2(二)双曲线的简单

2.2.2(二)2.2.2双曲线的简单几何性质(二)【学习要求】1.了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法.2.会求直线与双曲线相交所得的弦长、弦中点等问题.【学法指导】在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，培养分析、归纳、推理等能力.本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)1.直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.位置关系公共点个数判定方法相交1个或2个相切1个相离0个m＝0或m≠0Δ0m≠0且Δ＝0m≠0且Δ0填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)2.弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|＝，或|AB|＝1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|(k≠0).填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)题型一直线与双曲线的位置关系例1已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个公共点，k为何值？解由y＝kx－1，x2－y2＝1⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.当1－k2≠0时，即k≠±1时，∵直线和双曲线只有一个交点，∴Δ＝0，解得k＝±2.当k＝±1时，直线和双曲线的渐近线平行，它们有且只有一个交点.综上，k＝±1或k＝±2.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)小结判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：(1)直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；(2)直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分.故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)跟踪训练1(1)已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________.解析当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.±1研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)(2)已知直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16.当k为何值时，直线与双曲线：①有两个公共点；②有一个公共点；③没有公共点.解由y＝kx4x2－y2＝16消去y，得(4－k2)x2－16＝0(*).当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(*)无解.当4－k2≠0时，Δ＝－4(4－k2)×(－16)＝64(4－k2)，当Δ0，即－2k2时，方程(*)有两解；当Δ0，即k－2或k2时，方程(*)无解；研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)当Δ＝0，且4－k2≠0时，不存在这样的k值.综上所述，①当－2k2时，直线与双曲线有两个公共点；②不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；③当k≤－2或k≥2时，直线与双曲线没有公共点.本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)题型二双曲线中的相交弦问题例2已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值.解(1)由y＝kx－1，x2－y2＝1，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴1－k2≠0，4k2＋81－k20，解得－2k2，且k≠±1，∴k的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2).研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)(2)结合(1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·－2k1－k22＋81－k2＝1＋k28－4k21－k22.∵点O到直线l的距离d＝11＋k2，∴S△AOB＝12|AB|d＝128－4k21－k22＝2，研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)即2k4－3k2＝0.∴k＝0或k＝±62.∴适合题意的k的取值为0，62，－62.小结直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成一元二次方程，由根与系数的关系以及判别式求解.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系如OA→⊥OB→⇔x1x2＋y1y2＝0，结合根与系数关系求解.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)跟踪训练2设双曲线的顶点是椭圆x23＋y24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x－3y＋6＝0交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求此双曲线的方程；(2)求|AB|.解(1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2－mx2＝1(m0)①又直线15x－3y＝－6②A(x1，y1)、B(x2，y2)是方程①、②组成的方程组的两个解.由y2－mx2＝115x－3y＝－6得53－mx2＋4153x＋3＝0，研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)当m＝53时，显然不满足题意，当m≠53时，则x1＋x2＝－415353－mx1x2＝353－m，又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋y1y2＝83x1x2＋2153(x1＋x2)＋4＝0，∴83·353－m＋2153－415353－m＋4＝0；研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)∴m＝13，经验证，此时Δ0；∴双曲线的方程为y2－x23＝1.(2)∵x1＋x2＝－15，x1x2＝94，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1532·－152－4·94＝4.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)题型三直线与双曲线位置关系的综合应用例3设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA→＝512PB→，求a的值.解(1)将y＝－x＋1代入双曲线x2a2－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①∴1－a2≠0，4a4＋8a21－a20.解得0a2且a≠1.又双曲线的离心率e＝1a2＋1，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)∴e62且e≠2.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0,1).∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1).由此得x1＝512x2，由于x1、x2都是方程①的根，且1－a2≠0.由根与系数的关系，得1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.消去x2，得－2a21－a2＝28960，由a0，得a＝1713.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)小结直线与双曲线的位置关系，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到1－a2≠0，则会造成离心率范围扩大.另外，设而不求、根与系数的关系、消参是常用的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法.达到熟练掌握的程度.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)跟踪训练3设A、B分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求此双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于D、E两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得OD→＋OE→＝mOC→，求m的值及点C的坐标.解(1)由双曲线的实轴长为43，得a＝23.双曲线右焦点的坐标为(c,0)，一条渐近线为y＝bax，由点到直线的距离公式，得b＝3.∴双曲线的方程为x212－y23＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x0，y0).将直线y＝33x－2代入双曲线方程，化简得x2－163x＋84＝0，∴x1＋x2＝163，y1＋y2＝12.∵OD→＋OE→＝mOC→，∴x0＝x1＋x2m＝163m，y0＝y1＋y2m＝12m.将点C的坐标代入双曲线的方程163m2－4×12m2＝12，解得m＝±4.当m＝－4时，点C在已知双曲线的左支上，不符合题意，舍去.∴m＝4，点C的坐标为(43，3).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)1.已知双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为3x－4y＝0，则以右焦点为圆心，虚轴长为半径的圆的方程为()A.(x－5)2＋y2＝36B.(x＋5)2＋y2＝36C.(x－5)2＋y2＝9D.(x＋5)2＋y2＝9解析由双曲线x2a2－y29＝1(a0)得渐近线方程为y＝±3ax，即3x±ay＝0，∴a＝4，∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0).又∵b2＝9，∴虚轴长2b＝6.∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.A练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点.若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率为________.解析∵S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，∴|AF2|∶|BF2|＝2∶1.设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，|BF1|＝3x＝2a＋x，即a＝x，所以|AF1|＝2x＋2a＝4x.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)在△ABF1和△F1F2B中分别利用余弦定理可得：cosB＝9x2＋9x2－16x22×3x×3x＝9x2＋x2－4c22×3x×x，得c＝213x，所以离心率e＝213.答案213练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，且过点(2，2).(1)求双曲线C的方程.(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值.解(1)由离心率e＝3，得b＝2a，因为双曲线过点(2，2)，所以2a2－22a2＝1，解得a＝1，则b＝2，故所求双曲线C的方程为x2－y22＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)由x2－y22＝1，x－y＋m＝0，得x2－2mx－m2－2＝0，易知判别式Δ0恒成立，所以x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m.因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，得m2＋(2m)2＝5，所以m＝±1.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练2.2.2(二)直线与双曲线相交的问题，常有两种思路：(1)若问题涉及相交弦的中点坐标，常联立直线与双曲线的方程，消去一个参数，化成关于x(或y)的一元二次方程，然后根据根与系数的关系，把已知条件化为两根和与两根积的形式，从而整体解题.(2)若问题涉及相交弦