2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1【配套备课资源】第三章 3.1.1~3.1.

本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.23．1.1变化率问题3．1.2导数的概念【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.21.函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx填一填·知识要点、记下疑难点fx2－fx1x2－x1本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.22.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝.f′(x0)或y′|x＝x0limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx填一填·知识要点、记下疑难点瞬时变化率本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2引言某市2012年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2012年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2探究点一平均变化率的概念问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？答案气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r1－r01－0≈0.62(dm/L).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2(2)当V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r2－r12－1≈0.16(dm/L).可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.结论当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是rV2－rV1V2－V1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？①0≤t≤0.5，②1≤t≤2.答案①在0≤t≤0.5这段时间里，v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t≤2这段时间里，v＝h2－h12－1＝－8.2(m/s).由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答案如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子fx2－fx1x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？答案Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1).Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零.观察图象可看出，ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.解f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)当x1＝4，Δx＝1时，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，ΔyΔx＝211＝21.(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，ΔyΔx＝1.920.1＝19.2.(3)在(1)题中ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f5－f45－4，它表示抛物线上P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率.在(2)题中，ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f4.1－f44.1－4，它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2小结求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2跟踪训练1(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝Δx＋2＝4；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝Δx＋2＝3；研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝Δx＋2＝2.1；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝Δx＋2＝2.01.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2探究点二函数在某点处的导数问题1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答案不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易知h(6549)＝h(0)，v＝h6549－h06549－0＝0，而运动员依然是运动状态.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2问题2如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度v的变化趋势，用式子limΔt→0h2＋Δt－h2Δt表示，这就是物体在t＝2时的瞬时速度.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2结论函数在某点处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2问题3导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答案函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2小结求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：①求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2跟踪训练2求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6).根据导数的定义，ΔyΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15Δx＝4Δx＋Δx2－7ΔxΔx＝Δx－3，所以，f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2同理可得，f′(6)＝5.在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.小结(1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.1.1~3.1.2跟踪训练3高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝6598s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解令