2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

2.1.22.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质【学习要求】1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的四个步骤以及利用方程研究曲线五个方面的性质．2．掌握求轨迹方程的几种常用方法．【学法指导】通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1．解析几何研究的主要问题：(1)根据已知条件，求出___________________；(2)通过曲线的方程，研究________________．2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的______________；(2)设动点M的坐标为__________；(3)把几何条件转化为____________；(4)________．表示曲线的方程曲线的性质直角坐标系(x，y)坐标表示证明本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2填一填·知识要点、记下疑难点3．利用方程研究曲线的性质，主要研究：(1)曲线的________；(2)曲线与坐标轴的________；(3)曲线的________性质；(4)曲线的变化________；(5)画出方程的________.组成交点对称情况曲线本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一求曲线的方程问题1从前面的学习中可以看到，解析几何研究的主要问题是什么？答案(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2设A、B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，如何求线段AB的垂直平分线的方程？解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为x＋12＋y＋12＝x－32＋y－72.上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效①由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；②设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.点M1到A，B的距离分别是|M1A|＝x1＋12＋y1＋12＝8－2y12＋y1＋12＝5y21－6y1＋13；|M1B|＝x1－32＋y1－72＝4－2y12＋y1－72＝5y21－6y1＋13.所以|M1A|＝|M1B|，即点M1在线段AB的垂直平分线上．由①②可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？答(1)建立适当的________________；(2)设动点M的坐标为________；(3)把几何条件转化为____________；(4)________．(步骤(4)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．)直角坐标系(x，y)坐标表示证明本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例1已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M||MF|－|MB|＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－22－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝18x2.本专题栏目开关填一填研一研练一练动画演示2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效因为曲线在x轴的上方，所以y0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝18x2(x≠0)．小结(1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同．(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程．解以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图所示)，设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，3a)．∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，有x2＋(y－3a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋(y＋3a)2＝(2a)2，即所求的轨迹方程为x2＋(y＋3a)2＝4a2(y0)．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二由方程研究曲线的性质问题由曲线的方程讨论曲线的性质一般包括几个方面？答案(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围．(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，需求出交点的坐标,因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点．(3)研究曲线的对称性．(4)研究曲线的变化趋势,即y随x的增大或减小的变化情况．(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效例2讨论方程y2＝x21－x(x≥0)的曲线性质，并画出图形．解(1)范围：∵y2≥0，又x2≥0，∴1－x0.解得x1，∴0≤x1.又当x＝0时，y＝0，∴曲线过原点．当x→1时，y2→＋∞，∴y2≥0.综上可知，曲线分布在两平行直线x＝0和x＝1之间．(2)对称性：用－y代替y，方程不变，曲线关于x轴对称．(3)单调性：设0≤x1x21,0≤x21x22，∴1－x11－x20，故x211－x1x221－x2，即y21y22.∴在第一象限单调递增，第四象限单调递减．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(4)根据以上性质，画出图形如图．小结曲线的性质主要包括曲线的范围、对称性与坐标轴的交点、曲线的变化趋势(单调性)等几方面．先研究曲线的性质，再根据曲线的性质画图，比较简便、准确．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2(1)方程1－|x|＝1－y表示()A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段解析由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1，∴方程表示两条线段．A本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)画出方程|x|＋|y|＝1表示的曲线．解分别用－x代x，－y代y方程均不变，所以曲线关于x轴、y轴及原点都对称．当x≥0，y≥0时，方程为x＋y＝1，再根据对称性画出整个曲线如图.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是()A．x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25C．x2＋y2＝5(y≠0)D．x2＋y2＝25(y≠0)解析BC的中点为原点，BC边上的中线长为5，即OA＝5.设A(x，y)，则有x2＋y2＝25(y≠0)．D本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA→＋PB→|＝4，则点P的轨迹是()A．线段B．半圆C．圆D．直线解析以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2,0)、B(2,0)．设P(x，y)，则PA→＋PB→＝2PO→＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.C本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是____________．解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝2本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处解方法一设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.而kPA＝4－02－2x(x≠1)，kPB＝4－2y2－0，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)．整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处方法二设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝x－22＋y－42，|AB|＝－2x2＋2y2，∴2x－22＋y－42＝4x2＋4y2，化简，得x＋2y－5＝0，为所求轨迹方程．本专题栏目开关填一填研一研练一练演示数值变化2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处方法三∵l1⊥l2，OA⊥OB，∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M，∴|MP|＝|MO|，∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．∴kOP＝4－02－0＝2，OP的中点坐标为(1,2)，∴点M的轨迹方程是y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.1.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.本专题栏目开关填一填研一研练一练