杨辉三角与二项式系数的性质20101103

制作胡海权011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb一般地，对于n∈N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？课前练习:1．乘积12312312345aaabbbccccc有___项.2．展开5ab，其中23ab的系数是______.453510C(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++mnmnmnCCC11展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr（2）增减性与最大值1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn1由：2111nkkkn21nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1abnnnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：()nabn2（1）一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：nba)(nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）mnmnmnCCC11（4）nnnnnCCC210（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行1461第5行151第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行172121711035++++3551520104“斜线和”1rnC2nC3nC4nCrnrrrCCC1r2r1rC第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，这就是著名的斐波那契数列，也称为兔子数列。斐波那契数列斐波那契（11701250）意大利商人兼数学家,他的著作《算盘书》中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。例1证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC531420nnnnnnCCCCCC已知求:(1)；(2)；(3);(4)7270127(12)xaaxaxax127aaa1357aaaa017||||||aaa0246aaaa-273110932109421871课外作业:42340123423)xaaxaxaxax1.若（,则2202413)()aaaaa（的值是____.418444541183413060.TTCxxx求第五项项系数最大的展开式中只有第已知练,101243nxx：为偶数依题意n,18,1012nn且解题型:求展开式中的特定项例2.试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：882443188311122rrrrrrrrxTCCxx由题意可知，244063rr故存在常数项且为第7项，常数项86660781172TCx常数项即x0项练习：Tk1kkkxxc)()(31122112xckk65612∵0≤k≤12,k∈Z∴当k=0、6时，x的幂为正整数∴含x的正整数次幂的项共有2项的展开式中，含x的正整数次幂的项共有多少项？123)1(xx例4:求(x+2)10（x2-1）展开式中含x10项的系数为＿＿＿＿.179变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.-9求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法：（1）先化简，化成一个二项式的展开式;（2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.例3：求展开式中的常数项.1010x11x1）（）（项的展开式中系数最大的求例10215x：类型：求展开式中系数最大的项方法:利用通项公式建立不等式组变式练习：在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项.解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC812812892032TCxy即3(r+1)2(20-r)解得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值.各二项式系数的和增减性与最大值对称性小结