王孝武(现代控制理论基础课件)第3章

第3章控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。本章的内容为：1.引言——能控性、能观测性的基本概念2.能控性及其判据3.能观测性及其判据4.离散系统的能控性和能观测性5.对偶原理6.能控标准形和能观测标准形7.能控性、能观测性与传递函数的关系8.系统的结构分解9.实现问题10.使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性例3-1电路如下图所示。如果选取电容两端的电压为状态变量，即：。电桥平衡时，不论输入电压如何改变，不随着的变化而改变，或者说状态变量不受的控制。即：该电路的状态是不能控的。3.1引言首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。)(tuCuxCu)(tuCutx)()(tu显然，当电桥不平衡时，该电路的状态是能控的。11Cux22Cux例3-2电路如下图所示，如果选择电容C1、C2两端的电压为状态变量，即：，，电路的输出为C2上的电压，即，则电路的系统方程为y2xyu112112xbuAxxxCx10y如果初始状态为00)0(x系统状态转移矩阵为ttttttttt3333eeeeeeee21eA系统状态方程的解为ττutxtτtd)(e11)(0)(可见，不论加入什么样的输入信号，总是有21xx一般情况下，系统方程可以表示为CxyBuAxx（1）状态能控与否，不仅取决于B阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。u--u012112xBAxxxx11Cy系统状态转移矩阵为ttttttttt3333eeeeeeee21eA系统能观测问题是研究测量输出变量y去确定状态变量的问题。)(ty例3-3电路如下图所示。选取为输入量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为)(tu系统状态方程的解为ττtutτtttd)(e)0(e)()(0bxxAA从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出仅仅取决于其差值。只要的结果相同，则输出相同。当，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。)]0()0([21xx)0()0(21xx)(ty对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A有关。一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取决于C阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。为了简便起见，令0)(tu则)0(e)(xxAttttxxty321e)]0()0([)0(e)(xCA由上式可见，有确定的关系，只要求得就可以求得。因此通过观测确定状态变量的问题就可以转化为确定初始状态的问题了。)0(x)(x和t)0(x)(xt)(ty)(xt)0(x)]0()0([21xx说明：1）初始状态是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）)(0tx3.2能控性及其判据3.2.1线性定常系统的能控性及其判据1.能控性定义线性定常系统的状态方程为BuAxx（2）给定系统一个初始状态，如果在的有限时间区间内，存在容许控制，使，则称系统状态在时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。)(0tx01tt],[10tt)(tu0)(1tx0t2）如果在有限时间区间内，存在容许控制，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。],[10tt)(tu)(1tx3）研究能控性，并不是研究状态的变化过程，而是研究能控状态在状态空间中的分布情况。只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。ττeτtd)()0(10BuxA4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。（3）)(tu)(tf5）当系统中存在不依赖于的确定性干扰时，不会改变系统的能控性。)(tf)(tfBuAxx（4）2.能控性判据定理3-1（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×n维格拉姆矩阵满秩τtτTτtTdee),0(101AACBBW（5）（证明参见教材84页）（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理3-2（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×nr维能控性矩阵满秩。（6）（7）][BABAABBQ1n2CnCQrank证明应用凯-哈定理，有101110)()()()(niiin-nττaτaτaτaeAAAIA上式代入（3）式τττaxtiniid)()()0(1010uBA（8）iiriitiβββτττa210d)()(1u)1,,1,0(ni于是1101][)0(nn-βββBAABBx（9）1n1如果系统能控，必能够从（9）式中解得，，…，。这样就要求0n]rank[rankBABAABBQ1n2C（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）定理3-3（PBH判别法）（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是，对A的所有特征值，都有iλnλranki][BAI（10）),,2,1(ni（证明略）例3-4、例3-5（可以应用定理3-2证明，详见教材87页）（11）),,2,1(ni定理3-4（2）式的线性定常系统的矩阵A的特征值互异，iλ将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵uBxxnλλλ0021则系统能控的充分必要条件是矩阵中不包含元素全为零的行。B例3-6有如下两个线性定常系统，判断其能控性。u90210507xxu57041010507xx（1）（2）解根据定理3-4，系统（1）不能控；系统（2）能控。且，，nlkii1)(jikl3l2lkλ3λ2λ定理3-5（2）式的线性定常系统的矩阵A具有重特征值，、、、…、分别为重、重、重、…、重。1λ1ljiλλ经过非奇异线性变换，得到约当阵则系统能控的充分必要条件是矩阵中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。BuBxJJJxk0021iiiiλλλ0101J（12）例3-7有如下两个线性定常系统，判断其能控性。u340200040014xxu030024200040014xx（1）（2）解根据定理3-5，系统（1）能控；系统（2）不能控（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。3.2.2线性时变系统的能控性判据uBxAx)()(tt)(0tx（13）线性时变系统的状态方程为01tt定理3-6状态在时刻能控的充分必要条件是存在一个有限时间，使得函数矩阵的n个行在上线性无关。0t],[01tt)(),(10tttB（证明略）01tt定理3-7状态在时刻能控的充分必要条件是存在一个有限时间，使得以下格拉姆矩阵非奇异。0ttttttttttTTttd),()()(),(],[001010BBWC（14）（15）定义：)(dd)()()(1tttttkkkMMAM1,,1,0nk（16）)()(0ttBM当0k)(dd)()()(001tttttMMAM1k)(dd)()()(112tttttMMAM2k)(dd)()()(223tttttMMAM…定理3-8如果线性时变系统的和的元是(n－1)阶连续可微的。如果存在一个有限的，使得)(tA)(tB01ttntttn)()()(rank111110MMM（17）则系统在是能控的。0t例3-8线性事变系统方程为，ut10000xxx50y初始时刻，试判别系统的能控性。00t解10)()(0ttBM010000)(dd)()()(001tttttttMMAM而2010rank)()(rank10tttMM所以，能控。3.3能观测性及其判据3.3.1线性定常系统能观测性及其判据1.能观测性定义（18）线性定常系统方程为)(0tx如果在有限时间区间（）内，通过观测，能够唯一地确定系统的初始状态，称系统状态在是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。01tt],[10tt)(ty0t说明：1）已知系统在有限时间区间内的输出，观测的目标是为了确定。)(],[1010tttt)(ty)(0tx)(],[1010ttttCxyBuAxx)(ty2）如果根据内的输出能够惟一地确定任意指定状态，则称系统是状态能检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。)(1tx3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。4）系统的输入以及确定性的干扰信号均不改变系统的能观测性。)(tu)(tf2.能观测性判据定理3-9（18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即nt],0[rank1OW（19）（20）tttTttTdee],0[101AAOCCW其中（证明见教材92页）（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理3-10（18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即nnmn1CACACQOnOQrank（21）（22）证明设，系统的齐次状态方程的解为0)(tu)0(e)()(xCCxyAttt)0(e)(xxAtt（23）应用凯-哈定理，有10)(eniiiττaAA则)0()()(10xACyniiiτat或者写成)0()()()()(1110xCACACynntatatat由于是已知函数，因此，根据有限时间内的能够唯一地确定初始状态的充分必要条件为满秩。)(tai],0[1t)(ty)0(xOQ定理3-11（PBH判别法）系统（18）为能观测的充分必要的条件是：对于A的每一个特征值，以下矩阵的秩均为niλnλCiAIrank（24）例3-9系统方程如下，试判断系统的能观测性。u215002xxx10y解15010rankrankCAC不满秩，故系统不能观测。（由于以上判据很简单，因此最为常用）C定理3-12如果（18）式描述的系统的A阵特征值互异，经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是矩阵中不包含元素全为零的列。iλ例3-10有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。（1）xx10507x540y（2）xx