第二章货币的时间价值

四、计息期及其利率匹配计息期，就是指每次计算利息的期限（term）。日常生活中用得最多的，是以年为一个计息期。但计息期可以是日、周、月、半年、年，甚至是约定的其他时间长度。计息时，期利率必须与计息期完全匹配：日—日利率；周—周利率；月—月利率，半年—半年期利率，等等。年利率通常以“百分之”为单位，其他的则采用“千分之”、“万分之”甚至“十万分之”为单位，通常计息期越短，采用的利率单位越小。计算期及其利率匹配举例前面的例子都是假设利息一年复利一次，这叫年复利计算（annualcompounding）但是如果你的投资或存款是按日、月或半年期，等等计息时，在投资或存款期间需要复利几次？这直接关系到最终的收益。举例，如果你年初在银行存入100元，年利率为5%，但6个月计息一次，存期为3年，期末现金总收入是多少？称为半年期复利计算（semiannualcompounding）或非年度复利计算。只要每年不止一次付息，就需要做两个方面的转换：①将设定利率转换为“付息期间利率”，这里由5%2.5%；②总共复利的期间数：年数*每年复利次数=3*2=6.这样，我们就可基于半年期复利计算将来值公式计算：FV6=PV(1+i)6=100*（1+0.025）6=115.97（元）期间期初数0123100元115.76元105元110.25元2107.69102.5113.14013456100105.06110.38115.97期间期初数同样的逻辑可以运用与计算半年期复利计算的现值。思考：如果你买房子贷款100万，贷款期限为20年，同样的年利率条件下，可以选择按季度偿还和按月偿还，你选择什么？为什么？第二章货币的时间价值2.1货币的时间价值2.2单利终值与现值2.3复利终值与现值2.4年金终值与现值2.4年金终值与现值一、年金的基本概念与类型二、普通年金终值和现值三、先付年金终值和现值四、递延年金终值和现值五、永续年金现值一、年金的基本概念与类型所谓年金（annuity），是指在某一确定期间内，每期都有一笔金额相同的系列收付款项。年金是这样一组现金流序列：每一笔收入或者支出的金额都相等；每相邻两笔收入或者支出之间的时间间隔都相等。现实生活中，折旧、租金、利息、保险金、分期付款都是年金的具体形式。年金根据款项发生的时间特点，分为普通年金（后付年金）、预付年金（先付年金）、递延年金、永续年金。n0普通年金（后付年金）是指每期的收付款项发生在期末的年金。nAA0先付年金(预付年金)是指每期的收付款项发生在期初的年金。nAA0递延年金(延期年金)是指前面若干期不发生、之后才发生收付款项的年金。nAA永续年金是指无限期发生收付款项的年金，它是普通年金的一种特殊形式。AA0二、普通年金终值和现值的计算普通年金（后付年金）是指每期的收付款项发生在期末的年金。nAA0（一）普通年金的终值计算举例1.逐步计算法2.公式法（查年金终值系数表法）1.年金终值的逐步计算法假如你买了一份保险，要求每年年末向保险公司支付100元现金，年报酬率为5%,请问第三年末你的账户余额是多少？逐步计算法如图示：期间现金流量时间线0123-100-100-100-100.00-105.00-110.25-315.25逐步计算法逐步计算法：用各期支付额乘以（1+i）N-t，然后加总，得出年金终值。第三年末投入的100元的终值为：100*（1+5%）3-3=100第二年末投入的100元的终值为：100*（1+5%）3-2=105第一年末投入100元的终值为：100*（1+5%）3-1=110.25加总后的年金终值为：315.252.普通年金终值的计算公式法-11(1)1)1/ntntFVAiAiiFVA——年金终值A——每期收付款项，即年金n——计息期数i——利息率本例用公式法计算：FVA3=100*[(1+0.05)3-1]/0.05=100*年金终值系数=100*（）=315.25(元)普通年金终值举例2例：某人在每年年末到银行做定期存款1万元，前面的定期存款到期后本金和利息自动转存，年利率为5%，问这样连续存五年，本利和是多少？普通年金终值举例2-11(1)1)1/ntntFVAiAii＝10000×[(1+0.05)^5-1]/0.05＝10000×5.5256＝55256(元)年金终值系数（二）普通年金的现值计算举例1.逐步计算法2.公式法（查年金现值系数表法）1.年金现值的逐步计算法举例1假如你买了一份保险，要求每年年末向保险公司支付100元现金，年报酬率为5%,共支付了3年，请问现值值多少钱？逐步计算法如图示：期间支付额0123-100-100-100-95.24-90.70-86.38PVA3=-272.32年金现值的公式法计算举例普通年金现值的计算公式PV——年金现值A——每期收付款项，即年金n——折现期数i——折现率1111[1](1)(1)ntntPVAAiii本例用公式法计算PVA=100*[1-(1+0.05)3]/0.05=100*年金现值系数=272.32普通年金现值举例2例:某公司拟贴现发行三年期债券，每年年末按100元的票面向债券持有人支付本息，发行的市场利率为10%，问债券的发行价应该是多少？普通年金现值举例2普通年金现值的计算＝100×1/0.1[1-1/(1+0.1)^3)]＝100*年金现值系数＝248.68(元)1111[1](1)(1)ntntPVAAiii三、先付年金终值和现值先付年金是指每期的收付款项发生在期初的年金。nAA0先付与后付年金的区别，只是收付款项发生的时间不同，一个在期初，一个在期末.就终值计算来看，先付年金比后付年金多计算一期利息；而就现值计算来看，先付年金比后付年金少计算一期贴现利息。nAnAA000A1.先付年金终值的逐步计算法举例（普通年金例子）假如你买了一份保险，要求每年年末向保险公司支付100元现金，年报酬率为5%,请问第三年末你的账户余额是多少？逐步计算法如图示：期间现金流量时间线0123-100-100-100.00-105.00-110.25-315.25这是之前普通年金的例子1.先付年金终值的逐步计算法期间现金流量时间线0123-100-100-100假如你买了一份保险，要求每年年初向保险公司支付100元现金，年报酬率为5%,请问第三年末你的账户余额是多少？逐步计算法如图示：-105.00-110.25-115.76-331.01FVA3(先付)=315.25(普通)*（1+0.05）=331.012.先付年金终值计算公式FV——年金终值A——每期收付款项，即年金n——计息期数i——利息率-11(1)(1)(1)1)1/ntntFVAiiAiii本例公式法计算年金终值FVA3=100*（1+0.05）*{[(1+0.05)3-1]/0.05}=105*普通年金终值系数=331.01先付年金终值举例2例：某人在每年年初到银行做定期存款1万元，前面的定期存款到期后本金和利息自动转存，年利率为5%，问这样连续存五年，本利和是多少？先付年金终值举例2公式计算＝10000×(1+0.05)×{[(1+0.05)^5-1]/0.05}=10000*1.05*普通年金终值系数＝58019(元)先付58019vs后付55256-11(1)(1)(1)1)1/ntntFVAiiAiii4.先付年金现值逐步计算法先付年金现值逐步计算法时间线（板书）也可以可以转化成普通年金后计算（看图）：将每次的期初支付分别计算一期终值，然后将此一期终值作为普通年金计算现值。FVA3（先付）=A*（1+i）*FVA3（普通年金现值系数）=100*（1+0.05）*2.7232=285.94期间现金流量时间线0123-100-100-1005%4.先付年金现值公式计算法先付年金现值公式PV——年金现值A——每期收付款项，即年金n——折现期数i——折现率1111(1)(1)[1](1)(1)ntntPVAiAiiii本例公式计算FVA3=100*（1+0.05）*1/0.05[1-1/(1+i)3]=285.94按揭贷款分期偿还举例在现实生活中，按揭贷款是典型的先付年金的例子，但它们是知道现值（贷款额），要求出每期应该偿还的款项。例：某人要购买的一套商品房价款108万元，他在支付三成的首付后，其余部分向银行做按揭贷款，贷款利率为6%，贷款分20年、按等额本息方式偿还，如果按年偿还，问此人每年年初应偿还银行多少钱？如果按月偿还，问此人每月月初应偿还银行多少钱？按揭贷款分期偿还举例已知现值＝108×（1-30%）＝75.6万元，i＝6%,n＝20,求A按年偿还:756000=A×(1+6%){(1/6%)[1-1/(1+6%)^20]}A＝62180.68(元)按月偿还:756000＝A×(1+6%/12){(1/（6%/12）)[1-1/(1+6%/12)^(20*12)]}A＝5389.27(元)(银行实际实施的就是按月还款)1111(1)(1)[1](1)(1)ntntPVAiAiiii（普通年金现值系数）（普通年金现值系数）四、递延年金终值和现值递延年金的终值计算时将总期数减去递延的期数后的期数，然后按普通年金公式计算。（画出时间线图有助于理解）-11(1)1)1/ntntFVAiAiiFV——年金终值A——每期收付款项，即年金n——计息期数(收付款期数)i——利息率四、递延年金终值和现值递延年金首期收付款递延的特点，使得它的现值计算要分段实现：第一步是先将各期年金折现到递延期期末，也即首期收付款发生的计期起点；第二步再将第一步计算的结果作为将来值进一步折现到现在。nAAm四、递延年金终值和现值递延年金现值的计算公式PV——年金现值A——每期收付款项，即年金n——收付款期数i——折现率m——递延期数111111[1](1)(1)(1)(1)ntmnmtPVAAiiiii（普通年金现值系数）（现值系数）五、永续年金现值永续年金（Perpetuity）是指无限期发生收付款项的年金，它是普通年金的一种特殊形式。由于收付款项无限期发生，所以永续年金没有终值。AA0五、永续年金现值永续年金的现值计算可从普通年金的计算公式推得.当n无限大时，1/(1+i)^n趋向于0因此,永续年金现值的计算公式为1111[1](1)(1)ntntPVAAiiiPVAi其中：PV——年金现值A——每期收付款项，即年金i——折现率永续年金现值计算举例承诺无限期付款的证券投资1749年英国政府发行的用于偿付其他政府公债的债券（称为统一公债）。承诺永久付息，属于“永续年金”。统一公债利率为2.5%，面值为1000美元，这样可以无限期每年获得25美元的利息。运用等式计算统一公债的价值，其结果取决于当时的利率。PVAi假定在1888年，英国的“通用利率”是2.5%，则其价值为PVA1888年=25/0.025=1000美元。114年后的2004年，英国通用利率涨到了5.2%，此时统一公债的价值下跌到PVA2004=25/0.052=480.77美元。如果未来利率下跌到只有2%，统一公债的价值就相应上升到PVA未来=25/0.02=1250美元。上述例子说明了一个关键问题：如果利率变动，流通在外的债券价格也会变动。利率上升则债券价格下降，利率下降则债券价格上升。利率为10%，年支付为100元的永续年金的价值精要版P37图2-3图2-1支付期限的增加对10%的100元年金价值的影响图示含义：1.普通年金的价值等于其支付额现值的总和；2.我们可以为任何期数如3年、25年、1