2011年步步高大一轮复习讲义 第八章 磁 场 第3课时 磁场对运动电荷的作用

一、洛伦兹力的大小和方向1.洛伦兹力的大小F=qvBsinθ,θ为v与B的夹角,如图1所示.第3课时磁场对运动电荷的作用考点自清图1（1）v∥B时,θ=0°或180°,洛伦兹力F=.（2）v⊥B时,θ=90°,洛伦兹力F=.（3）v=0时,洛伦兹力F=.2.洛伦兹力的方向（1）判定方法:应用左手定则,注意四指应指向电流的方向即正电荷或负电荷.（2）方向特点:F⊥B,F⊥v.即F垂直于决定的平面.（注意B和v可以有任意夹角）.名师点拨由于洛伦兹力始终与速度垂直,因此它永不做功.qvB0运动的方向运动的反方向B和v0二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.若v∥B,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做运动.2.若v⊥B,带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做运动.匀速直线匀速圆周特别提醒（1）T、f的大小与轨道半径R和运行速率v无关,只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷有关.（2）比荷相同的带电粒子,在同样的匀强磁场中,T、f相同.mqmq热点一洛伦兹力的理解1.洛伦兹力和安培力的关系洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力,而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现.2.洛伦兹力方向的特点（1）洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直,即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面.热点聚焦（2）当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化.（3）用左手定则判定负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时,要注意将四指指向电荷运动的反方向.3.洛伦兹力与电场力的比较项目洛伦兹力电场力性质磁场对在其中运动电荷的作用力电场对放入其中电荷的作用力内容对应力产生条件v≠0且v不与B平行电场中的电荷一定受到电场力作用大小F=qvB（v⊥B）F=qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B,F⊥v与电荷电性无关正电荷与电场方向相同,负电荷与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功,也可能不做功力F为零时场的情况F为零,B不一定为零F为零,E一定为零作用效果只改变电荷运动的速度方向,不改变速度大小既可以改变电荷运动的速度大小,也可以改变电荷运动的方向特别提示（1）洛伦兹力方向与速度方向一定垂直,而电场力的方向与速度方向无必然联系.（2）安培力是洛伦兹力的宏观表现,但各自的表现形式不同,洛伦兹力对运动电荷永远不做功,而安培力对通电导线可做正功,可做负功,也可不做功.热点二带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法1.分析方法:定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提,确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础,有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系作为辅助.（1）圆心的确定基本思路:即圆心一定在与速度方向垂直的直线上.有两种方法:①已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射速度方向和出射速度方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图2甲所示,P点为入射点,M为出射点）.②已知入射点和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图2乙所示,P为入射点,M为出射点）.图2（2）半径的确定和计算利用平面几何关系,求出该圆的可能半径（或圆心角）,并注意以下两个重要的几何特点:①粒子速度的偏向角等于圆心角（α）,并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图3所示）.即φ=α=2θ=ωt②相对的弦切角（θ）相等,与相邻的弦切角（θ′）互补,即θ+θ′=180°.图3（3）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间可表示为t=T或t=T.360π22.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法（1）画轨迹:即确定圆心,几何方法求半径并画出轨迹.（2）找联系:轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角度与圆心角、运动时间相联系,在磁场中运动的时间与周期相联系.（3）用规律:即牛顿第二定律和圆周运动的规律,特别是周期公式、半径公式.特别提示①解题时做图尽量准确,以利于几何关系的确定.②特别关注几何图形中边角关系,勾股定理与三角函数是常用的数学方法.题型1带电粒子在有界磁场中的运动【例1】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图4所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出.题型探究图4（1）请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷.（2）若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？思路点拨如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹?磁场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系?mq解析（1）由粒子的运行轨迹,利用左手定则可知,该粒子带负电荷.粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°,则粒子轨迹半径R=r又qvB=则粒子的比荷（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°角,故AD弧所对圆心角为60°,如右图所示.粒子做圆周运动的半径BrmqvRm2vR′=rcot30°=r又R′=所以B′=B粒子在磁场中运行时间t=答案（1）负电荷（2）3Bqmv33v3π3π26161rBqmTBrvv3π3rB33方法提炼解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时,我们可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动.确定粒子圆周运动的圆心,作好辅助线,充分利用圆的有关特性和公式定理、圆的对称性等几何知识是解题关键,如弦切角等于圆心角的一半、速度的偏转角等于圆心角.粒子在磁场中的运动时间与速度方向的偏转角成正比.变式练习1圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场,与区域边缘的最短距离为L的O′处有一竖直放置的荧屏MN,今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO′方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上的P点,如图5所示,电子的重力不计.求O′P的长度和电子通过磁场所用的时间.图5解析电子在磁场中做匀速圆周运动,圆心为O″,半径为R.圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ,电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动,如图所示,连结OB.因△OAO″≌△OBO″又OA⊥O″A故OB⊥O″B由于BP⊥O″B,可见O、B、P在同一直线上,且∠O′OP=∠AO″B=θ,在直角三角形OO′P中,O′P=（L+r）tanθ,而tanθ=,tan,所以求得R后就可以求出O′P,电子经过磁场的时间可用t=来求得.由evB=m得R=tantanθ=2tan12tan22Rr2R2veBmvvmeBrRr222222222tan12tan2rBemeBrmvvθ=arctan（）t=答案O′P=（L+r）tanθ=22222)(2rBemeBrmrLvv222222rBemeBrmvv)2arctan(22222rBemeBrmeBmvRvv22222)(2rBemeBrmrLvv)2arctan(22222rBemeBrmeBmvv题型2带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的多解问题【例2】如图6甲所示,MN为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力.求:图6（1）磁感应强度B0的大小.（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值.思路点拨磁感应强度的变化规律画出正离子一个周期的运动轨迹根据R=求v0的多解qBmnd04v解析设垂直纸面向里的磁场方向为正方向（1）正粒子射入磁场,洛伦兹力提供向心力B0qv0=①做匀速圆周运动的周期T0=②联立①②两式得磁感应强度B0=（2）要使正粒子从O′孔垂直于N板射出磁场,v0的方向应如右图所示,两板之间正粒子只运动一个周期即T0时,有R=.当两板之间正粒子运动n个Rm20v0π2vR0π2Tmq4d周期即nT0时,有R=（n=1,2,3…）.联立求解,得正粒子的速度的可能值为v0=（n=1,2,3…）.答案（1）（2）（n=1,2,3…）nd4002πnTdmqRB0π2Tmq02πnTd方法提炼1.分析题目特点,确定题目多解性形成的原因.2.作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）.3.如果是周期性重复的多解问题,应列出通项式.如果是出现几种解的可能性,注意每种解出现的条件.题型3带电粒子在磁场中运动的极值问题【例3】如图7所示,匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为m,电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出,求电子的速率v0至少多大?图7思维导图解析当入射速率v0很小时,电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出,速率越大,轨道半径越大,当轨道的边界与EF相切时,电子恰好不能从EF射出,如图所示.电子恰好射出时,由几何知识可得:r+rcosθ=d①又r=②由①②得v0=③故电子要射出磁场时速率至少应为答案Bem0v)cos1(mBed)cos1(mBed)cos1(mBed规律总结1.解决此类问题的关键是:找准临界点.2.找临界点的方法是:以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下:（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.变式练习2电子质量为m,电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时速度方向不同,速度大小均为v0,如图8所示.现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求:（1）荧光屏上光斑的长度.（2）所加磁场范围的最小面积.图8解析（1）如右图所示,求光斑的长度,关键是找到两个边界点沿弧OB运动到P,初速度方向沿y轴正方向的电子,初速度方向沿x轴正方向的电子,沿弧OC运动到Q.设粒子在磁场中运动的半径为R,由牛顿第二定律得:qv0B=m,即R=从图中可以看出PQ=R=R20vBem0vBem0v（2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上,所加最小面积的磁场的边界是以O′为圆心、坐标为（0,R）、半径为R的圆的一部分,如图中实线包围面积.所以磁场范围的最小面积S=πR2+R2-πR2=（+1）（）2答案（1）（2）（+1）（）243412πBem0vBem0v2πBem0v题型4质谱仪的工作原理【例4】（16分）如图9为一种质谱仪工作原理示意图.在以O为圆心,OH为对称轴,夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点.CM垂直磁场左边界于M,且OM=d,现有一正离子束以小发射角（纸面内）从C射出,这些离子在CM方向上的分速度均为v0,若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D,试求:mq图9（1）磁感应强度的大小和方向（提示:可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）.（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场,求其轨道半